ランデン変換 (Landen's transformation) は、数学において楕円積分や楕円関数の母数を増減させる恒等式。楕円関数の数値計算に有用である。第一種楕円積分につき、次の恒等式をランデン変換という。同じく、次の恒等式をガウス変換という。ランデン変換はの置換により導かれる。&=int_{phi=0}^{alpha}frac{cosphi{dphi}}{sqrt{1-sin^2phi}sqrt{1-k^2sin^2phi}}\&=int_{ heta=0}^{eta}frac{frac{frac{2}{1+k}left(1-frac{2}{1+k}sin^2 heta ight)left(1-frac{2k}{1+k}sin^2 heta ight)}{left(sqrt{1-frac{4k}{(1+k)^2}sin^2 heta} ight)^3}}{sqrt{1-frac{frac{4}{(1+k)^2}sin^2 hetacos^2 heta}{1-frac{4k}{(1+k)^2}sin^2 heta}}sqrt{1-k^2frac{frac{4}{(1+k)^2}sin^2 hetacos^2 heta}{1-frac{4k}{(1+k)^2}sin^2 heta}}}{d heta}\&=int_{ heta=0}^{eta}frac{frac{frac{2}{1+k}left(1-frac{2}{1+k}sin^2 heta ight)left(1-frac{2k}{1+k}sin^2 heta ight)}{left(sqrt{1-frac{4k}{(1+k)^2}sin^2 heta} ight)^3}}{frac{1-frac{2}{1+k}sin^2 heta}{sqrt{1-frac{4k}{(1+k)^2}sin^2 heta}};frac{1-frac{2k}{1+k}sin^2 heta}{sqrt{1-frac{4k}{(1+k)^2}sin^2 heta}}}{d heta}\&=frac{2}{1+k}int_{ heta=0}^{eta}frac{d heta}{sqrt{1-frac{4k}{(1+k)^2}sin^2 heta}}\&=frac{2}{1+k}Fleft(sineta,frac{2sqrt{k}}{1+k} ight)formula_2を陽にするとformula_3formula_4formula_5formula_6}}である。ガウス変換はの置換により導かれる。&=int_{phi=0}^{alpha}frac{cosphi{dphi}}{sqrt{1-sin^2phi}sqrt{1-k^2sin^2phi}}\&=int_{ heta=0}^{eta}frac{frac{frac{2}{1+k}cos heta}{sqrt{1-frac{4k}{(1+k)^2}sin^2 heta}left(1+sqrt{1-frac{4k}{(1+k)^2}sin^2 heta} ight)}}{frac{sqrt{2+2sqrt{1-frac{4k}{(1+k)^2}sin^2 heta}-frac{4}{1+k}sin^2 heta}}{1+sqrt{1-frac{4k}{(1+k)^2}sin^2 heta}};frac{sqrt{2+2sqrt{1-frac{4k}{(1+k)^2}sin^2 heta}-frac{4k}{1+k}sin^2 heta}}{1+sqrt{1-frac{4k}{(1+k)^2}sin^2 heta}}}{d heta}\&=int_{ heta=0}^{eta}frac{frac{frac{2}{1+k}cos heta}{sqrt{1-frac{4k}{(1+k)^2}sin^2 heta}left(1+sqrt{1-frac{4k}{(1+k)^2}sin^2 heta} ight)}}{frac{2sqrt{1-sin^2 heta}sqrt{2+2sqrt{1-frac{4k}{(1+k)^2}sin^2 heta}-frac{4k}{(1+k)^2}sin^2 heta}}{left(1+sqrt{1-frac{4k}{(1+k)^2}sin^2 heta} ight)^2}}{d heta}\&=frac{1}{1+k}int_{ heta=0}^{eta}frac{1}{sqrt{1-frac{4k}{(1+k)^2}sin^2 heta}}\&=frac{1}{1+k}Fleft(eta,frac{2sqrt{k}}{1+k} ight)formula_2を陽にするとformula_9formula_10formula_11formula_12formula_13}}である。次の恒等式を楕円関数の上昇ランデン変換という。formula_14次の恒等式を楕円関数の下降ランデン変換という。operatorname{sn}left( frac{1+sqrt{1-k^2}}{2}u, frac{1-sqrt{1-k^2}}{1+sqrt{1-k^2}} ight)}{1+ frac{1-sqrt{1-k^2}}{1+sqrt{1-k^2}}operatorname{sn}^2left( frac{1+sqrt{1-k^2}}{2}u, frac{1-sqrt{1-k^2}}{1+sqrt{1-k^2}} ight)}formula_16formula_17当初の母数がformula_18であれば、上昇ランデン変換は母数を増加させ、下降ランデン変換は母数を減少させる。上昇ランデン変換を繰り返すことにより、母数が1に収束し、楕円関数は双曲線関数に近似される。下降ランデン変換を繰り返すことにより、母数が0に収束し、楕円関数は三角関数に近似される。この性質により、ランデン変換は楕円関数の数値計算に有用である。楕円積分のランデン変換によりのときにformula_19であるからformula_21である。楕円積分のガウス変換によりのときにformula_19であるからであるが、formula_25をformula_26に改め、formula_27をformula_28に改めればoperatorname{sn}left( frac{1+sqrt{1-k^2}}{2}u, frac{1-sqrt{1-k^2}}{1+sqrt{1-k^2}} ight)}{1+ frac{1-sqrt{1-k^2}}{1+sqrt{1-k^2}}operatorname{sn}^2left( frac{1+sqrt{1-k^2}}{2}u, frac{1-sqrt{1-k^2}}{1+sqrt{1-k^2}} ight)}formula_29formula_30}}となる。上昇ランデン変換と下降ランデン変換は虚数変換により交替する。上昇ランデン変換により&=frac虚数変換により&=frac{ frac{4k}{(1+k)^2}operatorname{sn}left( frac{1+k}{2}iu, frac{1-k}{1+k} ight)}{operatorname{dn}^2left( frac{1+k}{2}iu, frac{1-k}{1+k} ight)- frac{1-k}{1+k}operatorname{cn}^2left( frac{1+k}{2}iu, frac{1-k}{1+k} ight)}\&=frac{ frac{4k}{(1+k)^2}operatorname{sn}left( frac{1+k}{2}iu, frac{1-k}{1+k} ight)}{ frac{2k}{1+k}+ frac{2k(1-k)}{(1+k)^2}operatorname{sn}^2left( frac{1+k}{2}iu, frac{1-k}{1+k} ight)}\&=frac{ frac{2}{1+k}operatorname{sn}left( frac{1+k}{2}iu, frac{1-k}{1+k} ight)}{1+ frac{1-k}{1+k}operatorname{sn}^2left( frac{1+k}{2}iu, frac{1-k}{1+k} ight)}\formula_31をformula_25と書き、formula_33をformula_27と書けばとなるが、これは下降ランデン変換である。

出典:wikipedia