完全数（かんぜんすう，）とは、その数自身を除く約数の和が、その数自身と等しい自然数のことである。例えば 6 (= 1 + 2 + 3)、28 (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14) や 496 が完全数である。『聖書』の研究者は、最初の完全数が 6 なのは「神が6日間で世界を創造した」こと（天地創造）、次の完全数が 28 なのは「月の公転周期が28日である」ことと関連があると考えていたとされる。2014年11月の時点で、発見されている完全数はメルセンヌ素数と同じく48個である。紀元前より考察されている対象であるにもかかわらず、「偶数の完全数は無数に存在するか？」、「奇数の完全数は存在するか？」、「一の位が 6 か 8 以外の完全数は存在するか？」という問題は未解決である。完全数の定義より、完全数の正の約数の総和は元の数の2倍に等しい。すなわち、"n" が完全数であるとは、約数関数 σ に対して σ("n") = 2"n" を満たすことであると表現できる。また、正の約数の逆数和が 2 であると表現することもできる。完全数はメルセンヌ素数と関係が深く、"M" (= 2 − 1) が素数ならば 2"M" が完全数であることが、ユークリッドによって証明されている。このことから、紀元前には、2(2 − 1) = 6, 2(2 − 1) = 28, 2(2 − 1) = 496, 2(2 − 1) = 8128 が完全数であることが知られていた。また、メルセンヌ素数 2 − 1 に対応する完全数 2(2 − 1) は 2 − 1 番目の三角数でもある。その後、オイラーが登場するまでは、2(2 − 1) = 33550336, 2(2 − 1) = 8589869056, 2(2 − 1) = 137438691328 が完全数であることが発見されただけであった。オイラーは、全ての偶数の完全数が、メルセンヌ素数に対応するものであることを示した。これによって、偶数の完全数を探すことは、メルセンヌ素数を探すことと同等であることが分かった。また、オイラーは 2 − 1 が素数であることを確かめ、その結果 2(2 − 1) が完全数であることを示した。リュカは19年かけて39桁の自然数 2 − 1 が素数であることを確かめ、その結果、77桁の完全数を発見した。2 − 1 は、手計算で発見された素数のうち、最大のものである。現代においては、メガ素数の発見にはコンピュータが用いられる。特に、メルセンヌ素数の発見においては、分散コンピューティングによるプロジェクト GIMPS が有名であり、35個目以降の完全数の発見は全て GIMPS によるものである。完全数は、小さい順にである。知られている完全数の一覧についてはメルセンヌ数を参照のこと。またこれらの完全数の約数の和はで、隣り合う完全数の差はである。"M" = 2 − 1 が素数のとき、2"M" の正の約数は1, 2, 4, …, 2, 2, "M

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