実数 の正整数 乗は、素朴には、 個の を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。さて、formula_2 に無理やり を代入すれば、 すなわち となり、" が でなければ" 両辺を で割って を得る。すなわち、 の場合は、formula_3 を と変更することで formula_2 を formula_8 に拡張できる。さらに負の整数 に対しても と定義すれば formula_2 が満たされ、 の整数乗がうまく定義されて、指数法則 や が任意の整数 に対して成立する。次に、指数が実数の場合を考えよう。底が の場合は、上述のように整数乗が定まるのであった。

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