数学における交換子（こうかんし、）は、二項演算がどの程度可換性からかけ離れているかを測る指標の役割を果たすものである。考えている代数構造により定義が異なる。物理学、特に量子力学における交換子の役割については、交換関係 (量子力学)の項を参照。群 の二つの元 の交換子はあるいはで定義される（文献によって異なる。群論の専門家は上の方をよく使う）。交換子がその群の単位元 に等しいことと、 と が互いに可換（つまり ）となることとは同値である。 のすべての交換子から生成される の部分群を、 の導来群 または交換子群と呼び、 あるいは と表記する。注意すべきは、一般には交換子は群演算について閉じていないので、交換子全体の成す集合 そのものではなく、それで生成される部分群 を考えなければならないことである。交換子の概念は、冪零群や可解群の定義に用いられる。交換子についての関係式は群論における重要な道具である。以下、"a" は "x" による "a" の共軛変換（共軛元） "x"ax" を表す。最後の 5 番目の式はホール–ヴィットの恒等式 として知られるものである。これは環論的な意味での交換子に対する[[ヤコビの恒等式]]（次節の[[#環論における恒等関係式|環論における恒等関係式]]）の群論的な対応物である。上記の "x" による "a" の共軛変換の定義は群論の研究者がよく使うものだが、を "x" による "a" の共軛変換の定義とする（この場合はしばしば "a" と書いたりする）こともよくあるので注意を要する。こちらの定義についても（適当に読み替えを行えば）上述の[[#群論における恒等関係式|群論における恒等関係式]]と同様の関係式が成立する。特定の部分群で割った剰余群を考えれば、広くさまざまな恒等式が成り立つようにできる。これは[[可解群]]や[[冪零群]]の研究においてとくに有用である。たとえば、任意の群において積の自乗はが成り立つという意味でよく振舞う。したがって、[[導来部分群]]が[[中心 (代数学)|群の中心]]に含まれる（中心的）ならばという関係が成り立つ（つまりこの関係式は導来部分群で割った剰余群では常に成り立つ）。[[環 (数学)|環]]または[[結合多元環]]の二つの元 "a

出典:wikipedia