数学において、多項式の展開 (たこうしきのてんかい、) とは、複数の多項式の積をひとつの多項式で表すことをいう。これは、因数分解と逆の操作である。式の見た目として括弧が無くなるため、展開することを俗に「括弧を外す」ということもある。因数分解には統一的な方法論が無いのに対し、展開は分配法則を用いて機械的に行うことができる。この法則は、冪級数に対するものに自然に拡張される。分配法則を用いることで、多項式の積をひとつの多項式で表すことができる。まず、帰納法により、第二因子が "n" 個の項の和である場合の分配法則を得る。第一因子も複数の項の和である場合、すなわちについては、次のように計算される。この結果を記号 Σ を用いて書くならばである。言葉で表現するならば、ということである。第一因子が "m" 個の項の和、第二因子が "n" 個の項の和であれば、第一因子の項と第二因子の項の組み合わせは "mn" 通りであるから、展開した結果は "mn" 個の項の和になる。3つ以上の多項式の積についても同様のことがいえる。すなわち、ことがしたがう。"k" 個の多項式の積であって、"i" 番目の多項式が "n" 個の項の和であれば、展開した結果は "n" … "n" 個の項の和になる。("a" + "b" + "c")("x" + "y") を展開すると、"ax" + "ay" + "bx" + "by" + "cx" + "cy" となる。展開の様子は次の表のように表せる。展開したのち、さらに簡単にできる場合もある。例えば ("a" + "b")("a" - "b") を展開する場合の表はであるが、"ab" と -"ab" が打ち消しあうため、"a" - "b" となる。通常はこのような計算も含めて「多項式の展開」と呼ぶ。数学教育においては、こういう場合の展開式、例えば次のような式を公式として教授することが多い。右辺を左辺に変形することは因数分解であるから、これらは展開の公式であるとともに因数分解の公式ともみなせる。多項式は有限個の項の和であるが、無限個の項の和である（形式的）冪級数に対する積が定義され、多項式の展開の自然な拡張とみなせる。以下、簡単のために1変数の冪級数についてのみ考える。ふたつの冪級数の積はと定義される。冪級数をその収束域に対する関数とみなした場合、これは関数の積に対応する。指数関数のテイラー展開の右辺の平方を上記の法則で「展開」すると、となるが、この右辺は ("e") すなわち "e" のテイラー展開に等しい。これらの冪級数は、"x" にいかなる複素数を代入しても収束するが、収束域が限られたものも存在する。例えば、であるが、1 + "x" + "x" + "x" + … は |"x"| < 1 の範囲でのみ収束する。表現を変えるならば、複素関数 1 + "x" + "x" + "x" + … の解析接続は 1/(1 - "x") であり、これは "x" = 1 のみを1位の極に持ち、その他の点で正則である。

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