数学におけるホモトピー (homotopy)とは、点や線や面などの幾何学的対象、あるいはそれらの間の連続写像が連続的に移りあうということを定式化した位相幾何学における概念のひとつである。位相幾何学では、2 つの対象 "A" と "X" との関係のうち、連続的な変形によって保たれるものを問題とすることが多い。これらの関係はふつう連続写像 "A" → "X" を通して定義され、ホモトピーの概念は連続的に変形する連続写像の族によって定式化される。ホモトピー的な種々の不変量は位相幾何学の研究における基本的な道具となる。考察している幾何学的対象に「穴」が開いていれば、端を固定された曲線はそれを越えて連続的に変形することができない。したがって、ホモトピーによって「穴」の有無や、単純な構成要素に分解したときのそれらの組み合わせ的なつながり具合といった構造を調べることができる。ホモトピーが威力を発揮するのは、空間や写像といった幾何学的な対象に対し群や準同型などという代数的な対象を対応づけることであり、またそのような代数的な対象がしばしばもとの幾何学的な対象よりも単純化されているということにある。このように、代数的な道具によって空間と写像の位相的性質を調べるという方法をとる幾何学は、代数的位相幾何学と呼ばれる。単純な場合として、1 次元の位相空間からの連続写像のホモトピーを説明しよう。まず、線分の厳密な抽象化である、道（みち、path）という概念を定義する。"I" を R の閉区間 [0, 1] とし、"X" を位相空間とする。"I" から "X" への連続写像 α を "X" 内の道といい、α(0) を始点、α(1) を終点という。写像 α の像は "X" 上の連続曲線となるが、道という用語が表すのは写像 α のことであり、その像である曲線のことではない。道の定義では α の単射性は求められていないため、像である曲線が同じ点を 2 回以上通ってもよい。極端な話、閉区間 "I" の各点を 1 点に写したものも「道」であり、これは定値道と呼ばれる。始点と終点が一致する道は閉道（へいどう、closed path）あるいはループ (loop) という。閉道の始点のことを（それは終点といっても同じものだが）基点 (base point) という。基点以外に自分自身と交わる点を持たない閉道はサイクルと呼ばれることがある。連続関数 "H": [0, 1] × [0, 1] → "X" が、"X" 内の 2 つの道 α, β に対してを満たすとき、写像 "H" を道 α, β の間のホモトピー (homotopy) あるいはホモトピー写像という。また 2 つの道 α, β の間にホモトピーが存在するとき、α と β は互いにホモトープ (homotop)、ホモトピック (homotopic) である、または、同じホモトピー型であるといい、と表す。また特に、始点と終点をそれぞれ共有する 2 つの道が与えられたとき、その始点と終点を固定するようなホモトピーを道ホモトピーあるいは端点を固定するホモトピーという。直観的には、ホモトピックな 2 つの道は片方を "X" 内で動かして他方に変形できる。「ホモトピー型が同じである」という関係 formula_2 は同値関係であり、同値類が定義できる。この同値関係に関して道 α が属する同値類のことを α のホモトピー類といい、[α] などで表す。2 つの道を端点で「つなぐ」ことで次のように積 * を定義することができる: 道 α, β に対して、α(1) = β(0) が成り立つとき、また、向きを逆にすることで道の逆あるいは逆道が定まる: 道 α に対し、α の逆道 α とは、で定められる。位相空間 "X" 内の 1 点 "p" を固定し、"p" を基点とする閉道の全体 Ω("X

出典:wikipedia