~frac{e^{-c/2x}}{x^{3/2}} |統計学および確率論において、レヴィ分布(英:Lévy distribution)は、非負な確率変数に関する連続確率分布である。にちなんで名づけられた。レヴィ分布は、安定な分布のなかでも解析表現可能な確率密度関数を有する数少ない分布のひとつである。その他の解析表現可能な分布には、正規分布、コーシー分布がある。レヴィ分布の確率密度関数は、formula_6 に関して以下の式で与えられる。ここで、formula_8 は位置(location)パラメータ、formula_9 は尺度(scale)パラメータ。
累積分布関数は、ここで、formula_11 は相補誤差関数。 formula_8 はシフト(shift)パラメータで、曲線を右へformula_8だけ平行移動させ、台(support)は区間[formula_8, formula_15)となる。レヴィ分布の特性関数は以下の式で与えられる。この関数は安定分布で使用される形式を用いると以下のように書ける。ただし、formula_17 および formula_18:formula_20 の場合、レヴィ分布の"n"次モーメントは以下の式で定義される。この式は、すべての"n" > 0 に関して発散するので、レヴィ分布のモーメントは存在しない。モーメント母関数 は次の式で定義される。この式は、formula_23 の場合発散するのでゼロ近傍では定義されない。したがって、モーメント母関数は定義されない。正規分布を除くすべての安定分布同様、レヴィ分布の確率密度関数の裾は、冪乗則に従って低減する「heavy tail」を示す。いくつかの"c" の値について確率密度関数を描いた以下の両対数グラフにこの様子が示されている。

出典:wikipedia