リーマン幾何学において、クリストッフェル記号（クリストッフェルきごう、）またはクリストッフェルの三添字記号（クリストッフェルのさんそえじきごう、）とは、測地線の微分方程式を表すにあたってブルーノ・クリストッフェル (1829–1900) によって導入された記号を言う。クリストッフェル記号には第一種記号 formula_1 と第二種記号 formula_2 の二種類があるが、基本的には第二種記号のことを意味する。リーマン幾何学においては、n 次元多様体と呼ばれる空間上にある曲線の長さを、積分で計算できるように、各座標近傍内にという関数（基本計量テンソルと呼ばれる）が与えられている。この積分の第一変分 を 0 とおくことで得られるオイラー・ラグランジュの微分方程式は、測地線に沿っての孤の長さを媒介変数にとれば、となる。これを測地線の微分方程式と呼ぶ。なお、ここでであり、これを（第二種）クリストッフェル記号（Christoffel symbol (of the second kind)）と呼ぶ。クリストッフェル記号は、計量テンソルから導かれたレヴィ・チヴィタ接続に対する、座標空間での表示式である。n次元微分多様体 M 上の各点近傍に定まる座標系を x (h = 1, 2, ..., n) とする。さらに各座標近傍内に基本計量テンソルが与えられているものとする。なお以下においては、アインシュタインの和の規約を用いる。第一種クリストッフェル記号は基本計量テンソルからと定義される。第二種クリストッフェル記号は同じく基本計量テンソルまたは第一種クリストッフェル記号からと定義される。第二種クリストッフェル記号が定義されていない代わりに、接続の記号 Γ とともに共変微分が定義されている場合、接続の記号としてクリストッフェル記号を得ることができる。二階共変テンソル S の共変微分は定義より、である。また、二階共変テンソルであるリーマン多様体 M の基本計量テンソル g の共変微分についてリッチの補定理が一般の接続の記号 Γ から定義される共変微分についてもそのまま成り立つものとされているとすると、であり、添字を並べ替え、補うことにより、上式を計量テンソルの関数として接続の記号について陽に解いてと、接続の記号としてクリストッフェル記号を導出することができる。定義から明らかにが成り立つ。 第二種クリストッフェル記号について、座標系 x から座標系 u（h=1...,n） への変数変換を行うととなる。この式から第二種クリストッフェル記号はテンソルの成分ではないことが判る。曲面上のすべての点でクリストッフェル記号が０となるような座標系が存在するならば、その曲面は伸縮することなく平面上に展開可能なものだけであり、それ以外の場合には、曲面状のすべての点で formula_12 となるような座標系は一般に存在しない。ただし、曲面状のある特定の一点 formula_13 でならば formula_14 となるような座標系をとることができる。ここで、なる座標変換を行う。このとき、u で偏微分を行うととなり、さらに u で偏微分を行うととなる。したがって、formula_19 のとき formula_16 であることから、を得る。よって、ある一点 formula_13 におけるクリストッフェル記号の変数変換式がであることから、すなわち、クリストッフェル記号はある一点 formula_13 においては全て０となることが導かれる。このような座標系を、点 formula_26 を原点とする測地座標系（geodetic coordinate system）と呼ぶ。なお、測地座標の原点においては、テンソルの共変微分と通常の微分が一致する。一階共変テンソルを w とするとき、その共変微分はで定義される。座標系 (x) を測地座標系 (u) へ座標変換すると、その原点において formula_28 となる。したがって、w の共変微分は u = 0 において、と、共変微分と通常の微分が一致する。n 次元リーマン多様体の基本計量テンソル g(x) は n × n の正方行列であると見なせることからその行列式 gを定義することができる。ここで、g の余因子行列を G とし、g を x で偏微分するととなる。さらに余因子行列を行列式で割ったものは逆行列となるが、それは反変版の基本計量テンソルに他ならない。つまり、formula_32。よってよってが得られる。クリストッフェル記号はアインシュタインの一般相対論において頻繁に用いられる。一般相対論は時空を、レヴィ-チヴィタ接続を備えた、湾曲した 4-次元ローレンツ多様体によって表現する。（物体の存在によって時空の形状を決定するという）アインシュタインの場の方程式はリッチテンソルを含み、クリストッフェル記号を計算することが本質的である。一旦形状が決定されたならば、粒子と光線の軌跡は（クリストッフェル記号が陽に現れる）測地的方程式を解くことによって計算できる。

出典:wikipedia