代数学において、多項式の判別式（はんべつしき、）はその係数たちの関数であり、一般には大文字の 'D' あるいは大文字のギリシャ文字デルタ (Δ) で表記される。それは根の性質についての情報を与えてくれる。例えば、二次多項式の判別式はである。ここで、実数 , , に対して、Δ > 0 であれば、多項式は 2 つの実根を持ち、Δ = 0 であれば、多項式は 1 つの実二重根を持ち、Δ < 0 であれば、多項式は実根を持たない。三次多項式の判別式はである。より高次の多項式に対しても、判別式は常にその係数たちの多項式関数であるが、非常に長くなる。"一般の"四次式の判別式は 16 の項を持ち、五次式の判別式は 59 の項を持ち、六次多項式の判別式は 246 の項を持ち、項の個数は次数によって指数的に増加する。多項式が複素数において重根（すなわち重複度が 1 よりも大きい根）を持つのは、その判別式が 0 であるとき、かつそのときに限る。この概念は多項式が複素数に含まれない体に係数を持つときにも適用される。この場合、判別式が消えることと多項式がその分解体において重根を持つことが同値である。判別式は係数たちの多項式関数であるので、係数たちが整域 "R" に属していさえすれば定義され、この場合、判別式は "R" の元である。特に、整係数多項式の判別式は常に整数である。この性質は数論において広く用いられる。用語 "discriminant" はイギリス人数学者ジェイムズ・ジョセフ・シルヴェスター () によって 1851 年に造り出された。根の言葉で、判別式はによって与えられる、ただし formula_6 は最高次の係数であり formula_7 は多項式の分解体における（重複度を考慮した）根である。それはの平方掛ける formula_8 である。判別式は根たちについて対称な関数であるから、多項式の係数たちの言葉で書くこともできる、なぜならば係数たちは根たちのであるからだ。そのような公式は下で与えられる。判別式を根によって表せば、その重要な性質、すなわちそれが 0 であることと重根が存在することが同値であること、が明白になるが、多項式を分解しなければ計算することができず、分解した後は判別式が提供する情報は冗長である（根がわかっていれば重複があるかどうかわかる）。したがって係数によって表された式によって根の性質が多項式を分解することなしに決定できる。二次多項式の判別式はである。三次多項式の判別式はである。四次多項式の判別式はである。これらはそれぞれ次数 2、4、6 の斉次多項式である。それらはまた根の斉次式でもあり、それぞれ次数 2、6、12 である。より単純な多項式はより単純な判別式の表示を持つ。例えば、単二次多項式 "x" + "bx" + "c" は判別式 Δ = "b" − 4"c" をもつ。二次の項がない単三次多項式 "x" + "px" + "q" は判別式 Δ = −4"p" − 27"q" をもつ。根の言葉では、これらの判別式はそれぞれ次数 2、6 の斉次多項式である。判別式は係数たちの斉次多項式である。単多項式に対して、根たちの斉次多項式である。判別式は係数たちの次数 2"n"−2 の斉次式である。このことは 2 つの方法で確かめられる。根と最高次の係数による公式の言葉では、すべての係数を λ 倍しても根は変わらないが、最高次の係数が λ 倍される。(2"n"−1) ×(2"n"−1) 行列の行列式を "a" で割ったものとしての式の言葉では、行列の行列式はその成分たちの次数 の斉次式であり、"a" で割ることで次数が になる。明示的には、係数を λ 倍すると行列のすべての成分が λ 倍され、したがって行列式は 倍される。単多項式に対して判別式は根たちだけの多項式であり（"a" の項は 1 なので）、根たちの "n"("n"−1) 次式である、なぜならば積には formula_16 の項があり、それぞれ平方されるからである。多項式を考えよう。上のことからその判別式は formula_18 の次数 2"n"−2 の斉次式であり、各 formula_19 がウェイト "i" を与えられていればウェイト "n"("n"−1) のである。言い換えれば、判別式に現れるすべての単項式 formula_20 は 2 つの方程式とを満たす。これらはしたがって "n"("n"−1) のサイズ高々 "n" の 2"n"−2 の（非負の）パーツへの分割に対応する。これは判別式の可能な項を制限する。二次多項式 formula_23 に対して、formula_24 に対して 2 つの可能性しかない、[1,0,1] かまたは [0,2,0] であり、2 つの単項式 "ac" と "b" を与える。三次多項式 formula_25 に対して、これらは 6 のサイズ高々 3 の 4 つのパーツへの分割である：すべてのこれらの 5 つの単項式は判別式において実際に現れる。このアプローチは可能な項を与えるが、係数を決定しない。さらに、一般にはすべての可能な項が判別式に現れるわけではない。最初の例は四次多項式 formula_27 に対してであり、このとき formula_28 は formula_29 と formula_30 を満たすが、対応する判別式は単項式 formula_31 を含まない。二次多項式 formula_32 の判別式はであり、これはのルート記号の中に入っている量である。実数 "a

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