オイラー積（-せき、Euler product）はディリクレ級数を素数に関する総乗の形で表した無限積である。ディリクレ級数の一種のリーマンのゼータ関数についてこの無限積が成り立つことを証明したレオンハルト・オイラーの名前にちなむ。ディリクレ級数は以下の式の左辺で定義され、右辺がオイラー積表示である。a(n) は n に関する乗法的関数、p は全ての素数にわたり、変数sは複素数である。このような表示が成り立つためには a(n) が a(1) = 1, a(mn) = a(m)a(n) を全ての自然数 m,n について満たさなければならない。一般に s の実部 Re(s) に対して formula_2 ならば上記の級数（または無限積）が絶対収束するようなある実数の定数 C が存在することが知られている。a(n) = 1 とおいたときとなる。これがリーマンゼータ関数のオイラー積表示である。すなわちこれは s の実部が 1 より大きいとき収束する。リーマンゼータ関数のオイラー積は1737年にオイラーによって発見された。まずゼータ関数 ζ(s) は s の実部が1より大きいとき、次のように定義される。ここで両辺に最小の素数2の-s乗　formula_6 をかけるととなり、辺々引くとこの両辺に今度は2の次の素数3の-s乗　formula_9 をかけるととなり、再び辺々引くと以下同様に次々と素数の-s乗を両辺にかけて前の式から引くという操作を続けると右辺の formula_12 以外の項は（素因数分解の一意性によって）消えるのでしたがってゼータ関数は以下の形で表現される。

出典:wikipedia