非ユークリッド幾何学におけるポアンカレ半平面模型（はんへいめんもけい、）は、上半平面（以下 H と記す）にポアンカレ計量と呼ばれる計量をあわせて考えたもので、二次元双曲幾何学のモデルを形成する。名称はアンリ・ポアンカレに因むものだが、そもそもはベルトラミが、クライン模型・（リーマンによる）ポアンカレ円板模型とともに、双曲幾何学がユークリッド幾何学にであることを示すために用いたものである。円板模型と半平面模型とは共形写像のもとで同型である。射影線型群 "PGL"(2,C) はリーマン球面に一次分数変換で作用する。この群の部分群で上半平面 H を H 自身の上に移すものは、すべての係数が実数であるような変換全体の成す群 "PSL"(2, R) で、その作用は上半平面上推移的かつ等距ゆえ、上半平面はこの作用に関する等質空間となる。上半平面に一次分数変換で作用し、かつその双曲距離を保つリー群としては、近しい関係にあるものが4つ存在する。ポアンカレ模型におけるこれらの群の関係は以下のようなものである。等距変換群の重要な部分群にフックス群がある。モジュラー群 "SL"(2,Z) を考えることもよくある。この群は二つの面で重要である。ひとつは、それが 2 × 2 の格子点の成す正方形の対称性の群であり、したがってモジュラー形式や楕円函数のような正方格子上に周期を持つ函数には、その格子から "SL"(2, Z)-対称性が継承されることである。もうひとつは、"SL"(2, Z) はもちろん "SL"(2,R) の部分群なので、その双曲的振舞いも持っていることである。特に "SL"(2, Z) は双曲平面を等価なポアンカレ領域の胞体に分割することができる。射影特殊線型群 "PSL"(2, R) の H への群作用はで定義される。この作用が推移的、つまり H の元 "z

出典:wikipedia