スツルム＝リウヴィル型微分方程式（-がたびぶんほうていしき、）とは、 (1803–1855) と ジョゼフ・リウヴィル (1809–1882) に由来する以下の形の2階の実数係数斉次線形微分方程式|のことである。ここで "y" は関数であり、"x" は実数変数である。実数係数関数 "p" ("x" ) > 0, "q" ("x" ), "w" ("x" ) > 0 は予め与えられていて、"w" は重み関数と呼ばれる。定数λは未定である。"y" = 0 (for ∀"x" )は任意のλに対して()の解であるが、これを自明な解という。自明でない解が存在するかどうかはλに依存する。予め決められた境界条件のもとで、自明でない()の解 "y" が存在するようなλを見つけることをスツルム＝リウヴィルの固有値問題と呼ぶ。このとき、λを固有値、"y" を固有関数と呼ぶ。微分方程式()の左辺の形式をSturm–Liouville 形式 とか 自己随伴形式と呼ぶ。任意の形の2階の線形微分方程式は以下のように、Sturm–Liouville 形式に変形することができる。たとえばベッセル方程式はとSturm–Liouville 形式に変形できる。その他の例としては、ルジャンドルの微分方程式エルミートの微分方程式ラゲールの微分方程式がある。"p" ("x" ) > 0, "w" ("x" ) > 0 が成り立ち、かつ、"p" ("x" ), "p"' ("x" ), "q" ("x" ), "w" ("x" ) が有限閉区間 ["a

出典:wikipedia