数学において、ベータ関数（ベータかんすう, beta function）とは、ルシャンドルの定義に従って第一種オイラー積分とも呼ばれる特殊関数である。formula_1を満たす複素数 , に対して、と定義される関数をベータ関数と呼ぶ。ベータ関数は次のような対称性を持つ。ベータ関数は次の関係式を満たす。変数変換を行うことで、以下の形にも表示できる。いずれも定義域はformula_1である。formula_9のリーマン面上の積分路として、実軸上の (0,1) 内の点から出発し、1を正の向きに、0を正の向きに、1を負の向きに、0を負の向きの順で回って、元の点に戻るを取れば、次のポッホハマーの表示が成り立つ。int_{C}zeta^{x-1}(1-zeta)^{y-1} , dzetaベータ関数は、次のようにガンマ関数と結び付く。}{n!(x+n)}!但し、formula_10は下降階乗冪である。 = = 1/2 のとき、以下が成り立つ。正の整数 , に対して、以下が成り立つ。

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