数学における微分作用素(differential operator)は、微分演算 () の函数として定義された作用素である。ひとまずは表記法の問題として、微分演算を（計算機科学における高階函数と同じ仕方で）入力函数を別の函数を返す抽象的な演算と考えるのが有効である。本項では、最もよく扱われる種類である線型写像作用素を主に扱う。しかし、のような非線型微分作用素も存在する。函数空間 formula_1 から他の函数空間 formula_2 への写像 formula_3 が存在し、formula_4 の像となるような函数 formula_5（つまり formula_6）が存在することを仮定する。微分作用素は、formula_7 およびそのなる形を含む高階微分によって有限生成される作用素を言う。ここに、非負の整数の列 formula_9 は多重指数と呼ばれ、formula_10 は長さと呼ばれ、formula_11 は "n"-次元空間内の開領域上の函数であり、formula_12 である。上記は、函数としての微分であるが、シュヴァルツ超函数や佐藤超函数の意味での微分としたり、また微分演算も formula_13 や時折 formula_14 と選ぶこともある。最もよくある微分作用素は、微分をとる操作。変数 について一階微分をとる作用素のよくある記法としてなどが挙げられる。より高次の、-階微分をとる作用素はなどで書かれる。変数 の函数 の微分をなどで表すこともある。記号 を使うことは、ヘヴィサイドにより始められ、彼は微分方程式の研究の中での形の微分作用素を考えた。最も良く見かける微分作用素のひとつに、で定義されるラプラス作用素がある。他の微分作用素として、オイラー作用素 はで定義される。この作用素の固有函数は の単項式であり、homogeneity operator とも呼ばれる。-変数のテータ作用素は、により与えられる。一変数と同様に、 の固有空間は、斉次多項式全体の成す空間である。よくある数学の記法に従えば、微分作用素の引数は作用素自身の右側に書くのが通常であるが、別の記法を用いることもある。作用素を作用素の左側にある函数、作用素の右側にある函数に施した結果や、両側に施した結果の差を、以下のような矢印で記す:そのような、双方向の矢印記法は、量子力学のを記述することによく使われる。微分作用素 ∇ は、ナブラ作用素とも呼ばれ、重要なベクトル微分作用素である。物理学において頻繁に、マックスウェルの方程式の微分形のようなところに現れる。三次元直交座標系では ∇ はで定義される。∇ は様々な対象の勾配、回転、発散およびラプラシアンの計算に使われる。与えられた線型微分作用素に対し、その随伴作用素とはを満たす作用素 を言う。ここに、記号 はスカラー積または内積である。つまり、この定義はスカラー積の定義のしかたに依存する。自乗可積分函数全体の成す函数空間において、標準的なスカラー積がで定義される。ここに 上の横棒は、 の複素共役を表している。さらに または が および において消えているという条件を加えれば、 の随伴をにより定義することができる。この定義式は上記のスカラー積の定義に陽に依存していない。それゆえに、これを随伴作用素の定義として採用することもある。この定義式に従って定義された は の形式随伴と呼ばれる。（形式）自己随伴作用素とは、自身の（形式）随伴作用素に等しい作用素を言う。Ω を R の中の領域とし、"P" を Ω 上の微分作用素とすると、"P" の随伴作用素は、同様な方法で双対性により"L"(Ω)("L"(Ω))が定義される。すべての滑らかな "L" 函数 "f

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