物理科学におけるエアリー函数（エアリーかんすう、）あるいは第一種エアリー函数 ("Airy function of the first kind") ' は、イギリスの天文学者ジョージ・ビドル・エアリー (1801–92) に因んで名づけられた特殊函数である。この函数 および第二種エアリー函数とも呼ばれる関連の函数（A を次の文字 B に変えて、故に冗談めかしてベアリー (Biry) 函数とも）' は、エアリー方程式あるいはストークス方程式と呼ばれる微分方程式の線型独立な解としても言及される。これは転回点（turning point: 方程式の解が振動型から指数型へ変わる特徴点）を持つ最も単純な二階線型微分方程式である。エアリー函数は三角ポテンシャル井戸に留め置かれた粒子に対する、あるいは一次元定力場における粒子に対するシュレーディンガー方程式の解である。同じ理由により、ポテンシャルが位置の線型函数で局所近似されるときの、転回点の周りでのWKB近似として、エアリー函数は一様半古典近似を与えるのに利用できる。三角ポテンシャル井戸解は、多くの半導体デバイスを理解することに直接的に関係がある。エアリー函数はまた、虹のような。歴史的にはこれがエアリーがこの特殊函数を導入するに至った数学的問題であった。またエアリー函数はや天文学においても重要である。つまり、エアリー函数は（顕微鏡や望遠鏡の解像限界よりも小さな）によって与えられる回折や干渉のパターンを記述する。実変数 に対する第一種エアリー函数は広義リーマン積分として定義することができる。これが収束することは、激しく振動するグラフの正の成分と負の成分とが（これは部分積分で確認できる）ことによるものである。函数 はエアリー方程式 を満足する。この方程式は二つの線型独立な解を持つ。スカラー倍の違いを除いて、 は で なる条件を満たす唯一の解である。もう一つの解として第二種エアリー函数 を取るのが標準的である。第二種エアリー函数は第一種エアリー函数 と同じ振幅を持ち で位相が だけ異なる解として定義することができる。 およびそれらの導函数の における値はで与えられる。ここで はガンマ函数である。これにより および のロンスキアンが となることが従う。任意の変数に対するエアリー函数同士は、広義リーマン積分が成り立つという意味において互いに直交する。後述のように、エアリー函数は複素数平面上へ延長することができて整函数を与える。そのエアリー函数の が一定値を保ったまま を無限大へ飛ばすときの漸近挙動は に依存して決まる（これをと言う）。 のとき、 に対して以下の漸近公式を得る。 に対しても同様の漸近公式存在するが でしか適用できない。よりきつい に対する公式、および のときの に対する公式、あるいは同じことだが および だが零でないときの の漸近近似が で与えられる。エアリー函数の定義をと置くことにより複素数平面まで拡張することができる。ただし、積分路 は偏角 の無限遠点 から偏角 の無限遠点 までとる。あるいは、微分方程式 によって および を複素数平面上の整函数に拡張することもできる。エアリー函数の漸近的挙動から分かることは、 ともに負の実軸上に無限個の零点を持つことである。函数 は複素数平面上に他の零点を持たないが、 は扇形 にも無限個の零点を持つ。正の引数に対して、エアリー関数は変形ベッセル関数となる関係を持つ。ここで は の解である。エアリー函数の一階微分はであり、函数 および は急速に収束する積分によって表すことができる（変形ベッセル函数の項も参照）。負の引数に対して、エアリー関数はベッセル関数となる関係を持つ。ここに は の解。（ の解）もまたエアリー函数を用いてと書くこともできる。エアリー函数 の定義から直接に、そのフーリエ変換がで与えられることが示せる。エアリー関数の名の由来は、イギリス人天文学者・物理学者のジョージ・ビドル・エアリー (1801–1892) である。エアリーは光学の初期研究 (Airy 1838) においてこの函数に遭遇した。" という表記はハロルド・ジェフリースによるものである。エアリーはイギリス王室天文官を1835年から1881年まで務めた人物である。

出典:wikipedia