数学の、特に関数解析学の分野におけるバナッハ環（バナッハかん、）とは、実あるいは複素数上の結合多元環 "A" で、バナッハ空間でもあるもの、すなわち、ノルムが存在し完備であるもののことを言う。ステファン・バナッハの名にちなむ。その乗算と、バナッハ空間のノルムは、次のような不等式で関連付けられる：（すなわち、積のノルムはノルムの積より小さいか等しい）。このことから、積の演算は連続であることが分かる。この性質は、実数あるいは複素数に対しても見られる。例えば、|-6×5| ≤ |-6|×|5| など。上述の定義において、バナッハ空間をノルム空間に緩める場合、同様の構造はノルム環（normed algebra）と呼ばれる。バナッハ環は、ノルムが 1 であるような積に対する単位元を持つとき、単位的（unital）であると言う。またその積が可換であるとき、可換と呼ばれる。単位元を持つ持たないにかかわらず、任意のバナッハ環 formula_2 はある単位的バナッハ環 formula_3 にこの閉イデアルとなるように等長的に埋め込める。しばしば、扱っている環は単位的であるということがアプリオリに仮定される。すなわち、formula_3 を考えることで多くの理論を展開でき、その結果を元の環に応用するという方法が取られることがある。しかしこの方法は常に有効という訳ではない。例えば、単位元を持たないバナッハ環においては、すべての三角関数を定義することが出来ない。実バナッハ環の理論は、複素バナッハ環の理論とは非常に異なるものである。例えば、非自明な複素バナッハ環の元のスペクトルは決して空とはならないが、実バナッハ環においてはいくつかの元のスペクトルは空となり得る。バナッハ環は、"p"-進数の体についても同様に定義できる。これは"p"-進解析の一部である。バナッハ環の原型となる例は、局所コンパクト（ハウスドルフ）空間上の（複素数値）連続関数で、無限大において消失するようなものからなる空間 formula_5 である。formula_5 が単位的であるための必要十分条件は、"X" がコンパクトであることである。複素共役を対合として、formula_5 は実際にはC*-環である。より一般に、すべての C*-環はバナッハ環である。冪級数を介して定義されるいくつかの初等関数は、任意の単位的バナッハ環において定義されうる。そのような例として、指数関数や三角関数、さらに一般的な任意の整関数が挙げられる（特に、指数写像はを定義するために用いられる）。幾何級数の公式は、一般の単位的バナッハ環においても依然として有効である。二項定理もまた、バナッハ環の二つの可換な元に対して成立する。任意の単位的バナッハ環における可逆元の集合は開集合であり、その集合上の逆演算は連続（したがって位相同型）であるため、乗算の下で位相群を構成する。バナッハ環が単位元 1 を持つなら、1 は交換子にはなり得ない。すなわち、任意の "x

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