数学において凸共役（とつきょうやく、）とは、ルジャンドル変換の一般化である。ルジャンドル＝フェンシェル変換あるいはフェンシェル変換としても知られる（アドリアン＝マリ・ルジャンドルとの名にちなむ）。formula_1 を実ノルム線型空間とし、formula_2 を formula_1 の双対空間とする。双対組を次で表す。拡大実数に値を取る函数に対する凸共役は、上限を用いて次のように定義される。あるいは、同値であるが、下限を用いて次のように定義される。この定義は、函数のエピグラフの凸包の、に関する符合化と解釈することが出来るアフィン函数の凸共役はである。である。ここで formula_12 である。絶対値函数の凸共役はである。指数函数 formula_15 の凸共役はである。指数函数の凸共役とルジャンドル変換は、凸共役の定義域が厳密に大きいことを除いて一致する。ルジャンドル変換は正の実数に対してのみ定義されるためである。"F" を確率変数 "X" の累積分布函数とする。このとき、部分積分によりは次の凸共役を持つ。特別な解釈により次の変換が考えられる。これは初期函数 f の非減少な書き換えである。特に、"f" に対する formula_20 は非減少である。閉凸函数の凸共役は再び閉凸函数である。多面体的凸函数（多面体的エピグラフを持つ凸函数）の凸共役は、再び多面体的凸函数である。凸共役は、順序を反転させる。すなわち、formula_21 ならば formula_22 である。ここでである。函数の族 formula_24 に対し、上限は交換されうるという事実により、次が従う。さらに最大最小不等式により、次が従う。函数の凸共役は常に下半連続である。二重共役 formula_27（凸共役の凸共役）は閉凸包、すなわち、formula_28 を満たす最大の下半連続凸函数でもある。真凸函数 "f" に対し、次が成り立つ。 任意の函数 とその凸共役 に対し、次のフェンシェルの不等式（フェンシェル＝ヤングの不等式としても知られる）は、すべての と に対して成立する：二つの函数 formula_31 と formula_32 および数 formula_33 に対し、次の凸関係が成立する。この演算 formula_35 はそれ自身が凸写像である。二つの函数 "f" と "g" の極小畳み込み（infimal convolution）は、次で定義される（epi-sum とも呼ばれる）："f

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