ポリトープ (polytope) は、2次元の多角形、3次元の多面体を一般次元へ一般化した図形。多角形は2次元ポリトープ、多面体は3次元ポリトープである。多胞体（たほうたい）の訳語があるが、4次元ポリトープ (4-polytope, polychoron) に限って多胞体と呼ぶ語法もある。そのため、ここでは混乱を防ぐため、原則として多胞体と言う言葉は使わずポリトープを使うが、ポリトープでは不自然な一部の複合語では多胞体を使う。5次元以上の英語名は、ジョージ・オルシェフスキー (George Olshevsky) による提案名であり、必ずしも広く受け入れられているわけではない。それぞれ formula_1 を表すSI接頭辞が元になっている。なお、 formula_1 を表すSI接頭辞は formula_3 を意味する数詞をもじってつけられている。たとえば、polyteron ← tera ← tetra = 4。そのため、「多面体」の「面」が2次元を意味するように、表す数はポリトープの次元数より一つ少ない。3次元以上の英語名の語尾 -on は、複数形では -a となる。たとえば、polyhedron（多面体）の複数形はpolyhedra。ただし、polygon（多角形）の複数形はpolygonsである。頂点、辺、面を一般次元へ一般化したものを要素 (element) あるいは面 (face) という。ポリトープ自体も "n" 次元（余次元 0）の要素「体」であるが、いくつかの性質が特殊で、別扱いすることもある。一般の "m" (0 ≤ "m" ≤ "n" - 1) 次元の要素は、"m" 次元面（"m"-face）という。頂点、辺、面はそれぞれ0、1、2次元面である。英語では、3、"n" - 3 ～ "n" - 1 次元面にも固有の名称が付いている。名称が重複している場合は、0～3次元面の名前を優先する。たとえば、正多面体の1次元面はピークではなく頂点である。"n" - 3 ～ "n" - 1 次元面の名称には定訳はない。3次元面のセルは胞と訳す。多胞体をポリトープの意味で使う立場では、"n" - 1 次元面のファセットが胞と解釈できるが、その意味で使うことはあまりない。なお三次元図形によるイメージ化を行う影響で、"n" - "k" 次元面の名称を言うべきところで 3 - "k" 次元面の名称をいってしまう、たとえば一般次元のポリトープについてピークと言うべきところで頂点と言ってしまうような誤りが、（言語を問わず）見られる。"n" + 1 個の頂点を持つ "n" 次元ポリトープを単体 (simplex) と呼び、その次元で最も頂点数が少ない。頂点だけでなく、各次元の "m" 次元面の数も formula_4 と一意に決まり、それぞれ最少である。2次元では三角形、3次元では四面体が単体である。単体の各要素もまた単体である。たとえば、四面体の面は全て三角形である。各ファセット（"n" − 1 次元面）が合同で、各頂点形状が合同なポリトープを、正多胞体 (regular polytope) と呼ぶ（この語も、4次元のものに限って使うことが少なくない）。正多胞体はシュレーフリ記号で表現できる。正多胞体の各要素もまた正多胞体である。たとえば、正多面体の面は合同な正多角形である。正多胞体の種数は次元によって異なるが、2次元以上のどの次元にも存在する3種類の正多胞体があり、標準正多胞体という。それぞれの標準正多胞体は、体（正単体）、体（超立方体）、体（正軸体）という。"n"次元ポリトープによる"n"次元空間充填形は、"n" + 1 次元ポリトープとみなすことができる。たとえば、平面充填形（2次元空間充填形）は多面体とみなすことができる。"n" 次元ポリトープに対し、各 "m" (0 ≤ "m" ≤ "n" - 1) 次元面を "n" - "m" - 1 次元面で置き換える操作で得られるポリトープを、元のポリトープの双対 (dual) という。多面体の双対を双対多面体という。多角形の双対はそれ自身である。孔や密度のない "n" 次元ポリトープの "m" （0 ≤ "m" ≤ "n"）次元要素の数を formula_5とすると、が成り立ち、これをシュレーフリの定理と呼ぶ。"n" 次元要素（常に1）を足さず、の形で書くこともある（formula_8 は偶数と奇数）。この式の値をオイラー標数という。3次元 ("n" = 3) の場合は、「頂点数 − 辺数 + 面数 = 2」のオイラーの多面体定理となる。

出典:wikipedia