五次方程式（ごじほうていしき、英語：quintic equation）とは、次数が5であるような代数方程式のこと。代数学の基本定理によれば、任意の複素数係数方程式は複素数の中に根が存在するが、しかしながら5次以上の方程式には一般には"代数的解法"は必ずしも存在しない。すなわち、一般の五次方程式に対して"代数的な"根の公式は存在しない。もう少し詳しく書くと、5次の一般方程式の根を、その式の各項の係数と有理数の、"有限回"の四則演算及び"有限回"の根号をとる操作の組み合わせで表示することはできない。これはルフィニ、アーベルらによって示され、またガロアによって方程式が代数的に解ける条件が裏付けられている（ガロア理論参照）。なお、代数的ではないが、楕円関数などを用いた根の公式は存在する。5次方程式の解を超越的な手続を許して構成する方法としては、の2つが知られている。前者はエルミートによって、後者はクラインによって証明された。5次方程式の解を構成するためには、まず、次の3つの事実を知っておかねばならない。これらを結合することで5次方程式の解を構成することができる。任意の5次方程式はにおいて適当に係数 "b" を選ぶことによって、ブリング-ジェラードの標準形へ変換することが可能であるので、まず、この形へ帰着させる。この手続は代数的に実行可能であるが "b" は "a" の複雑な関数である。複素トーラスの周期をそれぞれ ω, ω として、τ をで定義する。ただし、"τ" は純虚数と仮定する。また、と定義する。この時 "q" と "q" が満足する関係式、または同値だが τ と "n"τ とが満たすべき関係式のことを「レベル "n" のモジュラー方程式」と言う。この方程式は次の形をとる。ただし、"K

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