エネルギー・運動量テンソル（エネルギー・うんどうりょうテンソル、、、）とは、質量密度、エネルギー密度、エネルギー流、運動量密度、応力を相対性理論に基づいた形式で記述した物理量である。一般相対性理論において、アインシュタイン方程式の物質分布を示す項として登場し、重力を生じさせる源（）としての意味を持つ。エネルギー・運動量テンソルは二階のテンソルであり、記号は formula_1 で表されることが多い。アインシュタイン方程式で、真空の状況を考える時は、formula_2 とすればよい。エネルギー・運動量テンソル formula_1 は、定義から明らかに対称テンソルである。以下では、時間座標を0成分とし、空間座標を1,2,3成分とする添字を使い、計量(metric)の符号はformula_4とする。また、アインシュタインの縮約記法を用いる。共変微分をもちいてとすれば、これは、共変形式のエネルギー・運動量保存則を表すことになる。エネルギー・運動量テンソルはネーターの定理により、時空の並進対称性の保存電流(ネーターカレント)として定められる。作用積分がと書かれているとき、時空の微小な併進 x → x' = x + ξ に対して、φ'(x')=φ(x) が成り立つ。従って、場はと変換される。エネルギー・運動量テンソルはとなる。別の定義の仕方として、計量の変分により定義する方法がある。作用積分がと書かれているとき、計量の変分に対して、で定義される。物質の平均自由行程が全体のスケールに比べて短いとき、流体近似が可能である。さらに、流体の静止系に乗ったときに、圧力が等方的であり（応力テンソルが対角的であり）、粘性のない場合、完全流体として考えることができる。このとき、一般に次のように仮定することができる。formula_19 は、静止系で観測したときの質量エネルギー密度と圧力であり、formula_20 は、計量テンソル・流体の4元速度ベクトル（共動座標系ならば、formula_21、流体速度をformula_22 と観測する場合にはformula_23）である。この仮定は、宇宙モデルを論じるときに通常用いられる。非相対論的な場合、formula_24となるから、行列形式で成分を書くととなる。この空間成分は、古典的流体力学の応力テンソルと一致する。電磁場のラグランジアン密度からエネルギー・運動量テンソルを計算するととなる。ここで、formula_27 は電磁場テンソル、formula_28 は電磁ポテンシャルである。formula_29 は電磁場のエネルギー密度、formula_30 及びformula_31 はポインティング・ベクトル、formula_32 はマクスウェルの応力テンソルである。

出典:wikipedia