ピタゴラスの定理（ピタゴラスのていり、）は、直角三角形の3辺の長さの関係を表す等式である。三平方の定理（さんへいほうのていり）、勾股弦の定理（こうこげんのていり）とも呼ばれる。平面幾何学において直角三角形の斜辺の長さを 、他の2辺の長さを とすると、が成り立つという定理である。ピタゴラスの定理によって、直角三角形をなす3辺の内、2辺の長さを知ることができれば、残りの1辺の長さを知ることができる。例えば、直交座標系において原点と任意の点を結ぶ線分の長さは、ピタゴラスの定理に従って、その点の座標成分を2乗したものの総和として表すことができる。このことは2次元の座標系に限らず、3次元の系やより大きな次元の系についても成り立つ。この事実から、ピタゴラスの定理を用いて任意の2点の間の距離を測ることができる。このようにして導入される距離はユークリッド距離と呼ばれる。「ピタゴラスが直角二等辺三角形のタイルが敷き詰められた床を見ていて、この定理を思いついた」など幾つかの逸話が知られているものの、この定理はピタゴラスが発見したかどうかは分からない。バビロニア数学のプリンプトン322や古代エジプトなどでもピタゴラス数については知られていたが、彼らが定理を発見していたかどうかは定かではない。中国古代の数学書『九章算術』や『周髀算経』でもこの定理が取り上げられている。中国ではこの定理を勾股定理、商高定理等と呼び、日本の和算でも中国での名称を用いて鉤股弦の法（こうこげんのほう）等と呼んだ。三平方の定理という名称は、敵性語が禁じられていた第二次世界大戦中に文部省の図書監修官であった塩野直道の依頼を受けて、数学者末綱恕一が命名したものである。 を満たす自然数の組 をピタゴラス数またはピタゴラスの三つ組数 という。特に、 が互いに素であるピタゴラス数 を原始的 あるいは素 であるといい、そのようなピタゴラス数は原始ピタゴラス数 などと呼ばれる。全てのピタゴラス数は、原始ピタゴラス数の正の整数倍により得られる。ピタゴラス数 が原始的であるためには、3つのうち2つが互いに素であることが必要十分である。自然数の組 が原始ピタゴラス数であるためには、ある自然数 がを満たすとして、であることが必要十分である。上記の は無数に存在し、 は重複しないから、原始ピタゴラス数は無数に存在する。これにより、すべての原始ピタゴラス数を重複なく見つけ出すことができる。例えばである。原始ピタゴラス数 について、次のような性質も成り立つ。また、一般のピタゴラス数 に対して、（直角三角形の面積）は平方数でない。直角三角形の三辺の長さを整数とするための調整の図において、赤の正方形の面積から青の正方形の面積を差し引いた残りの面積を互いに合同な黄の長方形4枚で占めている。黄の長方形の長辺と短辺の長さが整数であれば、となり、いずれも整数として表せることになる。また、黄の長方形の面積を整数の二乗で表せれば、黄の長方形4枚分の面積に等しい緑の正方形の辺の長さも整数で表すことができる。なおかつ、二つの正方形（緑と青）の面積の和が別の正方形（赤）の面積となることにもなり、この場合、三つの正方形の各辺の長さを用いて直角三角形(桃色)を作れることになる。ただし、黄の長方形は当然正方形となってはならず（長辺と短辺の差によって青の正方形を作る必要がある）、互いに異なりながらその積が整数の二乗となる2つの数を黄の長方形の幅と高さに割り当てる必要がある。それを実現する方法の一つとして、黄の長方形の幅と高さをそれぞれ異なる整数の二乗とする方法がある。図では、数1の長さを定めた上で整数m,n(m＞n≧1)の長さも設定し、それぞれの二乗を黄の長方形の辺の長さにしている。（緑の正方形の辺の長さは formula_2 の正の平方根 formula_3 となる。）青、緑、赤の各正方形の辺の長さをa,b,cとすると、となり、それぞれ整数であり、formula_7 が成り立つので、a,b,cを三辺の長さとする三角形(桃色)は直角三角形となる。1956年に Jesmanowicz が以下の予想を提出した。で自然数解を持つには、であることが必要である。第二余弦定理はピタゴラスの定理を の場合として含む。つまり、第二余弦定理はピタゴラスの定理を一般の角度について拡張した定理になっている。指数の の部分を一般化するととなる。 の場合は自明でない（つまり のいずれも 0 でない）整数解は実質原始ピタゴラス数であり、無数に存在するが、 の場合には自明でない整数解は存在しない（詳細はフェルマーの最終定理を参照）。3次元空間内に平面があるとき、その閉領域 の面積は、 平面、 平面、 平面への射影の面積 を用いてと表される。これは高次元へ一般化できる。この定理には数百通りもの異なる証明が知られている。ここにいくつかの代表的な証明を挙げる。以下では頂点 からなる三角形を と表す。また、各辺 に向かい合う角をそれぞれ と表し、各頂点 の対辺 の長さをそれぞれ と表す。頂点の記号は直角三角形 の直角が になるように与える。頂点 から斜辺 に下ろした垂線の足を とする。 は互いに相似である。よって と の相似比よりであり、同様に と の相似比よりである。したがってであるから、両辺にformula_14 を掛けてを得る。 と合同な4個の三角形を図のように並べると、外側に一辺が の正方形（以下「大正方形」）が、内側に一辺が の正方形（以下「小正方形」）ができる。である。大正方形の面積は , 小正方形の面積は , 直角三角形4個の面積の合計はである。これらを代入すると、整理してを得る。 の面積 はまた の内接円の半径を とするとであり、 を半径 について解くととなる。三角形の面積 を内接円の半径 を用いて表すととなる。 に , を代入するとが得られる。三角関数と指数関数は冪級数によって定義されているものとする。（指数法則やオイラーの公式の証明に本定理が使用されない定義であればよい。）まず が任意の複素数 に対して成り立つことを（3通りの方法で）示す。オイラーの公式よりまたはもしくは、オイラーの公式から三角関数の半角の公式を導出する。さて、前提とした について考え、 とおけばしたがって, より, よりが得られる。正弦および余弦関数を微分すれば, および微分公式よりしたがってここで は定数である。 を代入すると であるので、 が得られる。よってが得られる。ここで、前提とした について考え、 とおいて、 および、三角関数と直角三角形の関係を考慮すればが得られる。下記のように関数を定める。上記を漸化式を利用して不定積分するとである。微分積分学の基本定理を考慮し、これを微分するとである。したがってゆえに、ピタゴラスの定理は成立する。三角関数は級数など（幾何以外の原理）によって定義されているものとし、オイラーの公式など（証明に本定理を使用しない方法）によって導出された三角関数の加法定理を用いればまたはが得られる。また、加法定理を応用した三角関数の積和公式を用いてしたがってが得られる。両辺に を乗算してここで、前提とした について考え、 とおいて、三角関数と直角三角形の関係を考慮すればよってが得られる。三角関数は級数によって定義されているものとし、 と の自乗をそれぞれ計算するととなる。ここで二項定理よりである。したがってが得られる。ここで、前提とした について考え、 とおいて、三角関数と直角三角形の関係を考慮し、各辺の比を考えればであるからが得られる。平面の原点を中心とする角 の回転はで表される。となる。したがってが得られる。ここで、前提とした について考え、 とおいて、三角関数と直角三角形の関係を考慮すれば、正弦定理よりであるからが得られる。任意の に対しである。よって任意の に対してが成り立つ。ここで、前提とした について考え、 とおいて、三角関数と直角三角形の関係を考慮すれば、連比関係よりであるからが得られる。ピタゴラスの定理の逆とは、 に対してが成立すれば、 は の直角三角形であるというものである。以下に証明を示す。 を満たす において、線分 を の比に内分する点を とするとである。これより、△ABC と △ACD においてであるからが成り立つ。ここでであるから、2辺比夾角相等よりが成り立つ。したがってである。同様に △ABC と △CBD においてであるからが成り立つ。ここでであるから、2辺比夾角相等よりが成り立つ。したがってである。ここでであるからである。したがってである。ゆえに、 は の直角三角形である。 である直角三角形 において、 とすれば、ピタゴラスの定理よりが成り立つ。一方、仮定から においてが成り立っている。 、 よりしたがって、3辺相等からよって、 である。ゆえに、 は の直角三角形である。 において であると仮定する。頂点 から直線 に下した垂線の足を とし、 とする。であり、同様に直角三角形 ではである。よってとなる。ゆえにとなる。よっていずれの場合もである。対偶を取って、 ならば である。なお、この証明から分かるように、という対応がある。ピタゴラスの定理は既に証明されているとする。 において、, とおくと、余弦定理よりである。仮定よりであるからである。三角形の内角の和は であるから、 である。したがってである。ゆえに、△ABC は ∠C の直角三角形である。ピタゴラスの定理は既に証明されているとする。 においてでありである。ここでである。したがってである。よってである。ゆえに、ピタゴラスの定理の逆が証明された。 において、それぞれの辺の長さを と表し、 、 を満たすものとする。ピタゴラスの定理は既知とする。三角関数と逆三角関数を無限級数で定義する。"θ" を角度とし、 とする。オイラーの公式などの幾何以外の原理による証明より であり、 である。仮定の式を と整理し、複素数の極形式との整合性も考慮してとおく。ところでの場合の2つの角の大きさの和はである。ただし、ここで議論する逆三角関数は主値を考える。ここでの時はである。したがって、2つの角の大きさの和はである。また、逆三角関数の定義と公式よりである。なぜならば、 とおくとである。次に とおくと余弦による円周率の定義 より、 となり、 であるからである。したがってである。ゆえに、三角形の角およびは、余角の関係にある。仮定より、 の辺 には、内分点も外分点もなく、辺 以外の線分、半直線、直線や曲線もない。また、 の三角形（仮定の三角形）と の三角形（正弦と余弦関数の定義からみた三角形） は相似であるから、対応する角の大きさは各々等しい。ここで、仮定の三角形と先述で議論したもう一つの三角形は相似であるし、その相似の三角形の内角のうち2角の大きさは、 とおいている。（ の大小関係は、辺 "a" の対角 "A" の角度の大小関係に対応し、 の大小関係は、辺 "b" の対角 "B" の角度の大小関係に対応する。）すなわち、 や は、それぞれ の内角である。三角形の内角は3つであり、内角の和は であるから、余角の関係にある2つの角を除く、残りの1つの角の大きさは である。仮定より、最も長い辺は であるから、その対角が である。ゆえに、 は の直角三角形である。さらに議論を進めるとであるから、鋭角 "θ" の余角の正弦は、角 "θ" の余弦である。さらにであるから、鋭角 "θ" の余角の余弦は、角 "θ" の正弦である。ここで、 が から まで増加するとき、 は、 から まで狭義単調増加し、 は、 から まで狭義単調減少する。前述の議論との整合性を保つためには、辺 の対角を とおかなければならない。残りの辺 の対角を とおくととなる。

出典:wikipedia