ヴェブレン階層（ヴェブレンかいそう）とは、ヴェブレン関数の値からなる超限次元の行列で、フェファーマン・シュッテの順序数 (Γ) より小さい順序数を表現する一般的な方法として有名。任意の Γ より小さい順序数は、0 と和とヴェブレン関数の組み合わせによって、有限に記述される。オズワルド・ヴェブレンが1908年の論文にて紹介した。ヴェブレン関数 φ は、可算な順序数の上に定義される二変数関数で、最小の非可算な順序数を Ω で表すとき、ヴェブレン関数の値からなる Ω × Ω の超限次元の行列を特にヴェブレン階層と呼ぶ。ヴェブレン階層の α 行目、β 列目の値を φ(β) と書く。ここでは、概略的な説明にとどめる。まず、ヴェブレン階層の 0 行目に additive principal な順序数を小さいものから順番に置く。（すなわち、 φ(α) = ω）次に、1 行目には、 φ(α) = α をみたすような α を小さいものから順番に置く。これらの順序数 φ(α) を、特に ε と書く。例えば、 ε は、formula_1 となる最小の順序数 formula_2で、直感的にはformula_3 の値である。ただし、ε = ε ではないことに注意せねばならない。従来の羃の表記よりは、右上から左下にかけて小さく書かれている方が、意味的には正しい。ε は、ε より大きく ω = α であるような最小の数 α で、 formula_4 の極限として与えられる。一般に、後続順序数 α + 1 に対して、ヴェブレン階層の α+1 列目は φ(β) = β となるような β が順番に置かれ、極限順序数 λ に対しては、それより上のすべての行に現れる順序数が順番に置かれる。このように構成されたヴェブレン階層の値は、次のように比較することができる：次のいずれかが成り立つ場合、 φ(β) < φ(δ)。フェファーマン・シュッテの順序数とは、Γ と書かれ、φ(0) = α をみたすような最小の順序数 α のことである。任意の Γ より小さい順序数は、0 と和とヴェブレン関数の組み合わせによって、有限に記述される。

出典:wikipedia