ヤコビの三重積 (Jacobi triple product)とは、次の恒等式をいう。但し、formula_2とする。この恒等式はヤコビによるテータ関数の研究から生まれたものであるが、formula_3と置くことにより或いは、formula_5と置くことによりとなり、数論にも適する形になる。左辺をformula_7、右辺をformula_8と置き、まず、右辺が疑二重周期を持つことを示す。formula_2によりformula_12であるから、右辺の零点はに限られる。一方、左辺はであるから、右辺と同じ準二重周期を持ち、少なくとも右辺が零点を持つところに悉く零点を持つ。従って、リウヴィルの定理により、はformula_20に依存しない。分子の級数においてnが奇数の項は正負で打ち消しあうから2nをnに置き換える。formula_24はformula_20に依存しないからであり、formula_24はformula_28にも依存しない定数である。formula_29としてformula_30を得る。結局、両辺は等しい。ヤコビの三重積はラマヌジャンの和公式の特殊な場合である。ラマヌジャンの和公式はq二項定理から導かれる。ラマヌジャンの和公式にformula_32を代入するととなり、formula_34をformula_35と書き、formula_36をformula_37と書けばとなる。qポッホハマー記号の変換式により、右辺はであるから、formula_41の極限を取ればとなり、qポッホハマー記号を展開してを得る。

出典:wikipedia