数学の群論における類関数（るいかんすう、）は、群上で定義される関数であって、共軛類上では定数となるもののことをいう。複素数値の類函数はの表現論で重要である。自乗可積分な複素数値類函数は（例えば有限離散群の群環や位相群の群環）の中心元として現れるため、中心函数 (central function) とも呼ばれる。群 上の函数 が中心的あるいは類函数であるとは、 の任意の元 に対してが成り立つときに言う。あるいは同じことだが、自然な全単射 を考えれば、任意の に対してを満たすということもできる。可換体 に対し、群 は（ から への写像全体の成す）配置集合 にで、自然に作用する。 上の -値類函数はこの表現の不動点であり、従ってその全体はベクトル空間 の部分線型空間を成す。 をとして、その上のハール測度 を平行移動不変な唯一の確率測度として定義する。 は 上の自乗 -可積分函数全体の成すヒルベルト空間とすれば、この空間上に以下の二つの演算を入れることができる:これらにより は対合バナハ環となり、さらにを成す。この環に関する研究は の連続表現に関係する（を参照）。この関係性は の中心を通じて示される。実際、直接計算により可測函数 が自乗可積分ならばであり、また函数 が の中心に入る必要十分条件は、任意の に対して二つの畳み込み と が殆ど至る所一致することだが、これらは連続ゆえ至る所一致する。したがってこれは の任意の に対して と同値である。コンパクト群 上の有限次元とは、有限次元複素ベクトル空間 に対して、連続写像 のことを言う。はで定義される類函数である。同値な二つの表現は同じ指標を持つ。連続既約表現に付随する指標を既約指標と呼ぶ。任意の既約指標は に属し、互いに同値でない既約指標は互いに直交する。また既約指標の全体は のヒルベルト基底を成す。有限群 に対しては、既約表現の数は の共軛類の数に等しい。

出典:wikipedia