振り子（ふりこ、）とは、空間固定点（支点）から吊るされ、重力の作用により、揺れを繰り返す物体である。支点での摩擦や空気抵抗の無い理想の環境では永久に揺れ続ける。時計や地震計などに用いられる。振り子についての最初の研究記録は10世紀頃のアラビア人の天文学者イブン・ユーヌスによる。さらに 17世紀、ガリレオにはじまる物理学者らよる観測の結果、等時性が発見され時計に使用されるようになった。同じように等時性を示す装置として、ばね振り子やねじれ振り子などがある。振り子は、重りが左右いずれかの位置にあるとき位置エネルギーを持つ。重力により下に引かれると加速し運動エネルギーとなり一番下で最高速になる。反対側に揺れるとき減速しながら再度位置エネルギーとして蓄積され一旦停止する。以後これを繰り返す。揺れの幅が小さい場合、振り子の揺れの周期は重さや振幅に関係なく一定である。周期は「等価振り子の長さ」（これは支点から重心までの距離とは必ずしも一致しない）にのみ影響される。これを振り子の等時性という。伸び縮みしない軽い棒の一端を回転運動以外を固定し、他端に質点とみなせるほど小さくて重いおもりを取り付け、重力の作用でひとつの鉛直面内を振動するようにした振り子を、単振り子と呼ぶ。（振り子が一鉛直面内ではなく球面上を動く場合は球面振り子という）。振幅が小さければおもりの運動は単振動とみなすことができ、周期 "T" は、とあらわされる。長さ formula_1 の糸の先に質量 formula_2 のおもりをつけ、糸の他端を固定してつり下げる。おもりを少し横に引いて手を放すと、おもりは糸の固定点の真下の振り子のつりあいの位置 "Ｏ" を中心として往復運動を始める。おもりは糸の上端の固定点を中心とした円周上を運動するから、振り子のつり合いの位置 "Ｏ" を原点として、円周に沿ってformula_3 軸をとると、おもりの運動は formula_3 軸上の一次元の運動と見ることができる。このとき、おもりの運動に関わる力はおもりに働く重力 formula_5 の円周への接線方向だけである。ここで、重力 formula_5 の円周への法線方向と糸の張力重力 formula_7 は、おもりの運動を円周上に拘束する役割をしている。糸の鉛直方向となす角が formula_8 のとき、おもりの formula_3 軸上にかかわる力 formula_10 は、となる。おもりの座標 formula_3 と formula_8 は、であるから、おもりについての運動方程式は、ここで、微小角 formula_8 について成り立つ近似を用いて、(1-6) 式を変形すると、となる。(1-8) は単振動における運動方程式と同形である。"t" = 0においてformula_14 、formula_15 である場合は、"θ"の解は以下のようになる。ここで、formula_17、formula_18で、三角関数を合成した場合は、したがって、周期は前節 (1-1) 式のようになる。等時性の破れを主眼に置き、式の近似を用いない解法を考える。以下ではformula_21と表記する。角度の状態遷移を表す微分方程式が formula_22であることは簡単に導出される。これにエネルギーを考慮するため、両辺にformula_23をかけ、formula_24においてformula_14 、formula_26 であったとしてformula_27についてformula_28からformula_27まで積分するとここでformula_31と置き上式を変形するとさらにformula_33を用い上式を変形するとこのとき右辺にtが陽に現れていないため、t=0にformula_35となるように時間シフトを行うことができる。上式を用いformula_36 からformula_37となる時刻を計算するとこの値の4倍にあたる4tが振り子の周期である。formula_39、formula_40と置換すると結局周期は上式の定積分は完全楕円積分であるため初等的に扱うことは困難であるのでとテイラー展開し各項を積分すると周期"T"は次式となる。"T"は明らかに"a"の、つまり"θ"の関数であるため、等時性が破れている。式は"a"が大きくなるほど"T"が大きくなることを示している。よって、最初に重りを離す角度"θ"を大きくするにつれ、周期も大きくなる。formula_44とすると、formula_45となりformula_46と近似した時と一致する。ある形状を持った物体を一点でつるした振り子を、物理振り子、あるいは実体振り子、複振子と呼ぶ。通常は、つるす物体は剛体と見なせるものを指す。単振り子と異なり、質点と棒が分離していない分布質量系だが、周期の等時性などの特性は単振り子と変わらない。物理振り子の周期"T" は次の式で表される。ここで"l" は等価振り子の長さ、"g" は重力加速度である。等価振り子の長さは、次式で表される。ここで"I" は支点まわりの慣性モーメント、"m" はおもりの全質量、"d" は支点から重心までの距離である。どのような振幅においても振り子の等時性を保つためには、おもりの軌道がサイクロイド曲線となるように系を調整すればよい。ガリレイにより発見された振り子の等時性が正確に成り立たないことに気づいたホイヘンスによって発見されたこの振り子は「サイクロイド振り子」と称され、周期 "T" は振幅に依存することなく、正確にとなる。

出典:wikipedia