超立方体（ちょうりっぽうたい、hypercube）とは、2次元の正方形、3次元の立方体、4次元の正八胞体を各次元に一般化した正多胞体である。なお、0次元超立方体は点、1次元超立方体は線分である。正測体（せいそくたい）、γ体（ガンマたい）とも言い、"n" 次元超立方体を formula_1 と書く。正単体、正軸体と並んで、5次元以上での3種類の正多胞体の1つである。単に超立方体と言った場合は特に四次元の超立方体(tesseract)を指すこともある。右図は、四次元超立方体を二次元に投影した図である。立方体を二次元に投影した場合と同様に、各辺の長さや成す角度は歪んでいるが、実際の辺の長さはすべて等しく、角も直角である。胞（立方体）の数は、投影図において外側の大きな立方体、内側の立方体、これら2つの対応する面をそれぞれ結ぶ（対応する稜線を4つ選ぶ）部分に6つあり、胞は計8つである。超立方体を作図するには、を頂点とし、最も近い（距離2の）頂点同士を辺で結べばよい。複号は全ての組み合わせを取る。こうして作図された超立方体は、"n" 次元ユークリッド空間を formula_2 で表してでも定義できる。特にことわらない限り、辺の長さが "a" の "n" 次元超立方体について述べる。超体積は超表面積はである。ファセット ("m" - 1 次元面) は "n" - 1 次元超立方体である。したがって一般に、"m" 次元面は "m" 次元超立方体である。たとえば、面は正方形、胞は立方体である。対角線の長さは、である。"m" (0 ≤ "m" ≤ "n" - 1) 次元面の個数はである。特に、頂点は formula_3 個、辺は formula_4 個、ファセットは formula_5 個である。双対は正軸体である。任意の "l" 次元面と "m" 次元面（"l" ≠ "m" でもよい）は、接する場合直交し、それ以外は直角（ねじれの位置で）か平行である。特に、隣り合うファセットは直交し、それ以外のファセットは平行である。また、頂点には "n" 本の辺が集まり、互いに直交する。

出典:wikipedia