リュカ数列（リュカすうれつ）またはルーカス数列（ルーカスすうれつ）("Lucas sequence")とは、二次の整係数方程式 "G" ( "x" ) = "x" - "P" "x" + "Q" =0 の二つの解formula_1に対し、と定義される数列である。また同じことであるが、という関係式を満たす数列として定義される数列である。リュカ数列は二階線形回帰数列の一種で、フィボナッチ数、リュカ数、ペル数, メルセンヌ数など数論に現れる重要な数列がこれに属する。"U" , "V" を( "P" , "Q" )に伴うリュカ数列という。"V" を同伴リュカ数列と呼ぶこともある。 α/β が1の冪根であるとき "U" , "V" を退化("degenerate")、そうでないとき非退化("non-degenerate")という。"D" を割り切らない素数 "p" が "U" を割り切るが、 "U" ( "m" < "n" )を割り切らないとき、 "p" を "U" の原始約数( 'primitive divisor' )という。"U" (1, -1)はフィボナッチ数, "V" (1, -1)は（通常の）リュカ数である。"U" (3, 2)=2-1, "V" (3, 2)=2+1で、それぞれメルセンヌ数, フェルマー数を含んでいる。"U" (2, -1), "V" (2, -1)はペル数となる。次のような等式が成り立つ。また、 リュカ数列の整除性について、次のような性質が成り立つ。最後の定理はフェルマーの小定理の一般化である。これと原始約数の定義から、次のことがわかる。リュカ数列の値は少数の例外を除いて原始約数を持つことが知られている。 "n" > 30ならば、 "U" は原始約数を持つ。また、 "n" ≤ 30で、 "U" が原始約数を持たないものは全て知られている。

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