オイラーの分割恒等式（オイラーのぶんかつこうとうしき）は、自然数（正の整数）を「互いに異なる自然数に分割する方法の個数」と「奇数の自然数に分割する方法の個数」が等しいことを示す恒等式である。例えば、自然数 8 を互いに異なる自然数に分割する方法と奇数の自然数に分割する方法の個数は等しく 6 である。自然数 "n" をこのように分割する方法の個数を "Q"("n") で表すと、などと続く。オイラーは2種類の分割の方法の個数が等しいことを、母関数を用いて示した。自然数 "n" を互いに異なる自然数に分割する方法の数を "P"("n") とするとである。また、自然数 "n" を奇数の自然数に分割する方法の数を "P"("n") とするとである。従って、オイラーの分割恒等式はと書き表される。母関数で書き表したものの左辺を変形すると右辺が得られる。例として 8 を分割することを考える。ここで "P" を「異なる数による分割」に現れる一つの偶数をその半分の二つの整数の和にする変換、"U" を「奇数のみの分割」に現れる同じ二つの整数を一つの偶数にする変換とするとこのように「異なる数による分割」の方法と「奇数のみの分割」の方法との間に1対1対応がつけられる。これはPとUが互いに逆の変換であることから導かれる。したがってそれらの方法の個数は互いに等しい。ただし上記の 1+7 や 3+5 のような「異なる数による分割」と「奇数のみの分割」の両方に属するような方法は自分自身に対応づけることとする。その場合は恒等写像 "I" で表した。

出典:wikipedia