数学において、超幾何級数（ちょうきかきゅうすう、hypergeometric series）は、一般にの形式で表される級数である。但し、はポッホハマー記号である。古典的にはガウスの超幾何関数を単に超幾何級数という。なお、厳密にいうと、右辺の級数が超幾何級数であり、左辺の記号は級数の和によって定義される超幾何関数を表すものである。超幾何級数formula_1は、formula_2であれば発散する。formula_3の場合は、formula_4であれば絶対収束し、formula_5であれば発散する。formula_6の場合は、formula_7であれば絶対収束し、formula_8であれば発散する。但し、formula_9又はformula_10が正でない整数formula_11である場合は、formula_12となってformula_13で収束、或いはformula_14となってformula_15で発散する場合がある。第formula_16項をformula_17として公比はであるから、formula_4であれば絶対収束し、formula_5であれば発散する。formula_6の場合は、であるから、&=prod_{j=1}^{r}left(1+frac{a_j}{n} ight)cdotprod_{j=1}^{r-1}left(1-frac{b_j}{n} ight)cdotleft(1-frac{1}{n} ight)+Oleft(n^{-2} ight)\&=1+sum_{j=1}^{r}frac{a_j}{n}-sum_{j=1}^{r-1}frac{b_j}{n}-frac{1}{n}+Oleft(n^{-2} ight)qquad(n{gg}a_j,b_k)\end{align}\&egin{align}left|frac{c_{n+1}}{c_{n}} ight|^2&=left(1+sum_{j=1}^{r}frac{ eal{a_j}}{n}-sum_{j=1}^{r-1}frac{ eal{b_j}}{n}-frac{1}{n} ight)^2+left(sum_{j-1}^{r}frac{image{a_j}}{n}-sum_{j=1}^{r-1}frac{image{b_j}}{n} ight)^2+Oleft(n^{-2} ight)\&=1+frac{2}{n}left(sum_{j=1}^{r} eal{a_j}-sum_{j=1}^{r-1} eal{b_j}-1 ight)+Oleft(n^{-2} ight)qquad(n{gg}a_j,b_k)\end{align}\&egin{align}&left|frac{c_{n}}{c_{n+1}} ight|&=1-frac{1}{n}left(sum_{j=1}^{r} eal{a_j}-sum_{j=1}^{r-1} eal{b_j}-1 ight)+Oleft(n^{-2} ight)qquad(n{gg}a_j,b_k)\end{align}\であり、である。従って、ラーペの判定法により、formula_21であれば絶対収束し、formula_22であれば発散する。超幾何級数で定義される、或いは表示される関数を超幾何関数という。超幾何関数は多くの初等関数や特殊関数を包含する。完全楕円積分=frac{pi}{2}cdot{_2F_1}left[egin{matrix}frac{1}{2},frac{1}{2}\1end{matrix};k^2 ight]\&E(k)=frac{pi}{2}sum_{n=0}^{infty}{left(frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} ight)^2frac{k^{2n}}{1-2n}}=frac{pi}{2}cdot{_2F_1}left[egin{matrix}frac{1}{2},-frac{1}{2}\1end{matrix};k^2 ight]\正弦積分、余弦積分、指数積分ガウスの超幾何関数はオイラー積分で表される。これはとして導かれる。ガウスの超幾何関数のオイラー積分表示にformula_23を代入するとガウスの超幾何定理を得る。となる。更にformula_24を代入するとヴァンデルモンドの恒等式を得る。

出典:wikipedia