淡中圏（たんなかけん、tannakian category）とは与えられた体"K"に関係するある付加的な構造を備えた、ある種のモノイダル圏"C"である。そのような圏"C"の役割は、"K"上定義された代数群"G"の線形表現の圏をおおよそ見積もることにある。この理論の多数の応用が今までになされてきた。名前の由来はコンパクト群"G"とそれらの表現に関する淡中-Krein双対性（）である。この理論ははじめアレクサンドル・グロタンディークのセミナーで発展し、その後ドリーニュによって再考され幾分簡易化された。理論は副有限群あるいはコンパクト群"G"の有限組み合わせ的な表現に関する理論であるグロタンディークのガロア理論に似ている。より詳しくはSaavedra Rivanoの論評にあるが、理論の要点はガロア理論のファイバー関手formula_1を"C"からformula_2へのテンソル関手"T"に置き換えることにある。formula_1からそれ自身への自然変換がなす群、すなわちガロア理論における副有限群は"T"からそれ自身へのテンソル構造を保つ自然変換のなす群(単にモノイドとする場合もある)に置き換える。これは代数群ではないが、代数群の逆極限(すなわち副代数群)である。群の表現論の立場からホッジ構造あるいは"l"進表現が考えられる場合にこの構成が使われる。たとえばマンフォード・テイト群あるいはモチヴィックガロア群は1-コホモロジー群あるいはガロア加群が生成する淡中圏を考えることにより、構成することができる。これら応用の範囲はモチーフの理論と密接に関係している。淡中圏が用いられる別の例ではグロタンディーク-カッツ-p曲率予想、あるいはモノドロミー群と関連づいている。ニュートラル淡中圏とはK-ベクトル空間の圏への忠実充満なK-テンソル関手を備えたリジッド-アーベル-テンソル圏である。

出典:wikipedia