レピュニット (Repunit) とは全ての桁が 1である自然数のことである。つまり 1, 11, 111, 1111...である。 "R" = (10" - 1) / 9 の形に表される。repeated unitを省略したものが名前の由来である。"n" = 2, 19, 23, 317, 1031, ...のときに、"R" は素数となる。レピュニットの素数が無限にあるかどうかは知られていない。"m" が "n" を割り切るならば、"R" は "R" を割り切る。よって、"n" が合成数ならば、"R" は合成数となる。100 を法として 11 と合同な平方数は存在しないから、レピュニットで平方数となるものは 1 のみである。一般に、レピュニットで累乗数となるものは 1 のみであることが知られている (Bugeaud, Mignotte 1999a)。現在、"R" で "n" = 2, 19, 23, 317, 1031 の時に素数となることが知られている。"n" = 49081, 86453 の場合もおそらく素数 (PRP, probable prime) であるが、桁数が大きいために素数判定は困難である。2007年4月3日、H. Dubner は "n"=109297 の場合が PRP であると発表した。また、同年7月15日、M. Voznyy は "n"=270343 の場合が PRP であると発表した。10以外の基数に対してもレピュニットを定義することができる。基数 "a" に対してレピュニットは "R" ( "a" ) = ( "a" " - 1) / ( "a" - 1) と定義される。"a" =2 ならば、これはメルセンヌ数に一致する。また、"a" が素数ならば、これは "a" の約数の和に一致する。基数 "a" ≤ 100 のレピュニットが累乗数となるのは "R" ( "3" )=11, "R" ( "7" )=20, "R" ( "18" )=7 の場合しかない（Bugeaud 1999b）。"F" ( "x" ) を "d" 次の円分多項式とすると、formula_1と表すことができる。

出典:wikipedia