階差数列（かいさすうれつ、）とは、ある数列に対し、隣り合う項の差をとることによってできる新たな数列のことである。数列の規則性が見えにくい場合でも、階差数列を考えることにより元の数列の素性が分かりやすくなる場合がある。数列 ("a") が与えられているとき、を "n"-項目の差分または階差 といい、階差によって定義される数列 ("b") を、数列 ("a") の（第 1-）階差数列と呼び、(Δ "a") などと表す。(Δ "a") の階差数列を ("a") の第 2-階差数列と呼び、(Δ "a") などと表す。以下、帰納的に第 "m"-階差数列 (Δ "a") が定義される。これに対し、を "n"-項目の後退差分または後退階差 ということがある。しばしば ∇, Δ"a" または Δ "a" などで表す。区別の明確化のために先の階差を前進階差 と呼び Δ"a" または Δ "a" などで表すこともある。数列 ("a") の一般項がで与えられているとき、その階差数列 ("b") の一般項はである。("a") の一般項が未知であり、最初の数項がと分かっているとする。その階差数列を取るとであるから、一般項は "b" = "n" と類推できる。このとき、と、元の数列の一般項も類推できる。階乗冪の階差は再び階乗冪となる。"m" を与えられた整数とし、一般項がで定義される数列 ("k") を考えればが成り立つことは簡単な計算でわかる（分母は Δ"k" ≡ 1 だから書いても書かなくても同じだが）。逆に "m" ≠ −1 のとき "k" = 1, 2, ..., "n" − 1 について加えるとを得る。特に "m" ≥ 1 のとき "k" を展開することにより、冪和 "S"("n") に関する関係式が得られる。もとの数列とその各階の階差数列を並べて表にしたものを階差表という。たとえば、二項係数の階差表はパスカルの三角形である。適当な自然数 "m" に対し、第 "m"-階差が定数列となるとき、もとの数列を "m"-階等差数列という。通常の等差数列は、1-階等差数列である。また、0-階等差数列は定数列である。一般項が添字 "n" の多項式であるような数列は必ず定数列となるような高階階差を持つから、高階等差数列のクラスに含まれる。

出典:wikipedia