シムソンの定理は三角形の外接円上の点Pから三角形の各辺におろした垂線と辺の交点（L, N, M）をすべて結ぶと直線（LM）になるという定理。この直線のことをシムソン線或いはシムソンラインと呼ぶ。この定理はロバート・シムソンから名づけられた。最初にこの概念を紹介したのはウィリアム・ウォレスである。A,B,Cの内の点Pの右回り隣の点をA,左回り隣の点をB,対角点をCとする。AとBは対角点だから∠PAC+∠CBP=180度∠PAC>90度の場合、AとBを入れ替えて∠PAC≦90度とする。∠PAC=90度の場合,∠CBP=90度,A=M,B=L,Nは直線AB上の点だからL,M,Nは同一直線上にある.∠PAC<90度とする。点A,P,N,Mは同一円周上にある。A,P,B,C　はこの順で外接円周上にあるから直線BAに対してPとCは反対側にある。∠PAC<90度だから(A→C)と(A→M)の向きが同じになるから∠PAM=∠PAC…①直線BAに対してPとMは反対側にある。Nは直線BA上の点だから直線NAに対してPとMは反対側にあるからNとAは四角形APNMの対角点となるから　∠PAM+∠MNP=180度…②点P,L,B,Nは同一円周上にある。B,C,A,P はこの順で外接円周上にあるから直線BAに対してPとCは反対側にある。∠CBP>90度だから直線BAに対してLとCは反対側にあるから直線BAに対してLとPは同じ側にある。Nは直線BA上の点だから直線BNに対してLとPは同じ側にあるからBNは四角形PLBNの対角線でない辺となるから　∠PNL=∠PBL…③∠CBP>90度だから(B→L)と(B→C)の向きが180度異なるから∠PBL+∠CBP=180度.∠PAC+∠CBP=180度だから∠PBL=∠PAC…④①,②,③,④から初等幾何で証明するのは煩雑なので以下の複素数による証明の方がよい複素数による証明)△ABCの外接円周上の点PからBC、CA、AB　に下ろした垂線の足を　L、M、N とする。外接円の中心に 0 を対応させ　点　P　に　1　を対応させて外接円を単位円とする座標をいれて点 A,B,C,L,M,N　のそれぞれの位置の複素数をa,b,c,d,e,f　としてx~=(xの共役複素数)　とするとA,B,C,P　は単位円上の点だからPL　と BC のなす角は直角だから　L,B,C は同一直線上にあるからbb~=cc~=|b|^2=|c|^2=1 である事を利用して(1),(2),(3) のdに関する連立方程式を解くと2d=b+c-bc+1同様に2e=c+a-ca+12f=a+b-ab+1次に　(e-d)(f~-d~)-(e~-d~)(f-d)　を求めると4((e-d)(f~-d~)-(e~-d~)(f-d))=((a~b-ab~)(|c|^2-1)+(b~c-bc~)(|a|^2-1)+(ac~-ca~)(|b|^2-1)+a(|c|^2-|b|^2)+b(|a|^2-|c|^2)+c(|b|^2-|a|^2)+a~(|b|^2-|c|^2)+b~(|c|^2-|a|^2)+c~(|a|^2-|b|^2))となり　|a|=|b|=|c|=1 だから(e-d)(f~-d~)-(e~-d~)(f-d)=0となって　3点L,M,Nは同一直線上にある

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