大正準分布（だいせいじゅんぶんぷ）、グランドカノニカル分布（）は、統計力学において系の微視的状態を表現する統計集団の一つである大正準集団、グランドカノニカルアンサンブル（）に従う統計分布である。グランドカノニカル分布は熱浴（heat bath）との間でエネルギーを、粒子浴との間で粒子数を自由にやりとりできる系（開放系）に対応する統計分布で、小正準分布、正準分布とは体積が十分に大きい極限において熱力学的に等価である。リザバーと接している系が微視的状態 ω をとる確率分布 p(ω) は次式で定義される。ここで、E(ω) と N(ω) はそれぞれ系が微視的状態 ω をとるときのエネルギーと粒子数（i は粒子の種類）で、β μ はリザバーを特徴付けるパラメータでそれぞれ温度と化学ポテンシャルである。β は絶対温度 T と β=1/kT の関係にあり、逆温度と呼ばれる。k はボルツマン定数である。確率分布 p(ω) の分母に現れた規格化定数 Ξ(β,μ) はグランドカノニカル分布の大分配関数であり、次式で定義される。系が微視的状態 ω をとるとき、微視的な物理量が O(ω) で与えられるとき、対応する熱力学的な状態量は期待値として再現される。 特に粒子数はとなり、エネルギーはとなる。系のグランドポテンシャルをとして定義すると、グランドポテンシャルは完全な熱力学関数であり、カノニカル分布における自由エネルギーと同様に、他の状態量を計算することができる。グランドカノニカル分布は、量子理想気体の平衡状態について記述する際に便利である。理想気体なので粒子間の相互作用が無く、一粒子のエネルギー固有状態を考えればよい。一粒子のエネルギー固有状態 j にある粒子数を n とし、対応する一粒子のエネルギー固有値を ε とすると、微視的状態 ω は粒子数 n の組によって指定される。これはグランドカノニカル分布においては、全エネルギー及び全粒子数について拘束条件が無い（一定である必要が無い）為に行える操作であり、大分配関数は次のように書き直せる。このように、全体の大分配関数を固有状態 j の大分配関数の各々の積として表せる。これが、グランドカノニカル分布が他の統計分布と比べて量子理想気体を記述する際に使い勝手の良い理由である。一粒子のエネルギー固有値 ε をもつ固有状態jについて、ボゾンの場合、粒子数 n は 0 以上の全ての整数値をとりうるので大分配関数は、となる。これから粒子数の期待値を計算すると、となる。これがボース分布関数である。一粒子のエネルギー固有値εをもつ固有状態jについて、フェルミオンの場合、粒子数nは0もしくは1のみをとるので大分配関数は、となる。これから粒子数の期待値を計算すると、となる。これがフェルミ分布関数である。ヒルベルト空間の正規直交基底をeとして、任意の演算子formula_1のトレースを、と定義する。これを用いると大分配関数はハミルトニアンformula_2と粒子数演算子formula_3を用いて、と表せる。

出典:wikipedia