線型代数学において、固有多項式（こゆうたこうしき、characteristic polynomial）あるいは特性多項式（とくせいたこうしき）とは、正方行列に付随して得られるある多項式を指し、その行列の固有値、行列式、トレース、最小多項式といった重要な量と関連している。相似な行列に対しては同じ固有多項式が定まる。またグラフ理論において、グラフの固有多項式とは、グラフの隣接行列の固有多項式のことを指す。この多項式はグラフの不変量となっている。すなわち同型なグラフは同じ固有多項式を持つ。"n" 次正方行列 "A" に対し、"A" の固有値をすべて求めることを考える。あるスカラーλが "A" の固有値であるとは、"Av" = λ"v" を満たすベクトル "v" ≠ 0 が存在することである。条件 "Av" = λ"v" は (λ"I" − "A")"v" = 0 と同値である（ここで "I" は単位行列）。したがって λ が "A" の固有値である必要十分条件は、一次方程式の非自明な解 "v" ≠ 0 が存在すること、つまり det(λ"I" − "A") = 0 となることである。以上から、与えられた "n" 次正方行列 "A" のすべての固有値は、"n" 次方程式 det(λ"I" − "A") = 0 の解として求まる。また、この方程式 det(λ"I" − "A") = 0 を固有方程式あるいは特性方程式と言う。"K" を体（例えば実数全体や複素数全体）とする。"K" の元を成分とする "n" 次正方行列を "A" とする。"A" の固有多項式とは、で定義される多項式 "p"("t") のことである。ここで "I" は単位行列である。（"p"("t") = det("A" − "tI") を定義とする場合もあるが、"n" が奇数のときに限り符号 −1 がつくだけなので本質的に違いはない。）次の実行列 "A" の固有多項式を求める。そのためには、"A" の固有多項式、すなわちの行列式を計算すればよく、それはとなる。よって "A" の固有値は 1 と 2 である。

出典:wikipedia