線型代数学において、体 F 係数の 行列 の F 上の最小多項式（さいしょうたこうしき、）とは、F-係数のモニック多項式 "p"("x") であって、"p"("A") が零行列となるようなものの中で次数最小のものを言う。"q"("A") = 0 となる F-係数多項式 "q"("x") は最小多項式 "p"("x") で割り切れる。次の3つの主張は同値である："A" の最小多項式 "p"("x") における根 λ の重複度は、λ に対応する "A" のジョルダン細胞の最大次数を表す。一般に、最小多項式は固有多項式と一致するとは限らない。例えば、4"I" を考える。（"I" は "n" 次単位行列。）この行列の固有多項式は である。一方、 であることから、最小多項式は である。従って、 ならば、4"I" の最小多項式と固有多項式は一致しない。ケーリー・ハミルトンの定理と上の注意により、最小多項式は常に固有多項式を割り切ることが従う。体 F 上の有限次元ベクトル空間 "V" 上の線型変換 "T" に対し、とおく。ここで F["x"] は、F 上の一変数多項式環を表す。formula_2 は、F["x"] の真のイデアルとなる。F は体だから F["x"] は主イデアル整域であり、任意のイデアルは F の単元倍を除いて一意的な1つの多項式によって生成される。したがってとくに "I" の生成元としてモニックな多項式をとることができ、これを "T" の最小多項式と言う。最小多項式は、formula_2 中のモニック多項式の中で次数が最小のものである。"V" 上の線型変換 "T" が対角化可能であることと、すべてのジョルダン細胞の次数が1であることとが同値である。従って、体 F 上の有限次元ベクトル空間 "V" の線型変換 "T" が対角化可能であるための必要十分条件は、"T" の最小多項式が F 上で一次式の積に分解し、すべての根の重複度が1であることである。体 F 上のベクトル空間 "V" とその線型変換 "T" および "V" の元 "v" に対して、と定義する。これは、F["t"] の自明でないイデアルとなる。formula_5 を、このイデアルを生成するモニック多項式とする。この多項式は次の性質を満たす。

出典:wikipedia