数学において、不完全ガンマ関数（ふかんぜん-かんすう incomplete gamma function）あるいは、ルジャンドルの不完全ガンマ関数は、ガンマ関数の一般化の一つ。ガンマ関数は定積分を用いて定義されるが、不完全ガンマ関数は不定積分を用いて定義される。不完全ガンマ関数には2種類あり、ガンマ関数の積分区間[0,∞]を2つに分けて以下のように定義される。0以上の実数 "x" と、 実部が正の複素数 "a" に対しガンマ関数の定義はであるから、となる。また、不完全ガンマ関数の定義式に部分積分を用いることでという関係が成り立つことも分かる。さらに、以下のような式が成り立つ。ここで、であるとする。MeijerのG関数から:

出典:wikipedia