ベッセル関数（ベッセルかんすう、"Bessel function"）とは、最初にスイスの数学者ダニエル・ベルヌーイによって定義され、フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセルにちなんで名づけられた関数。円筒関数と呼ばれることもある。以下に示す、ベッセルの微分方程式におけるformula_1の特殊解の1つである。formula_2上の式において、formula_3は、任意の実数である（次数と呼ばれる）。formula_3が整数nに等しい場合がとくに重要である。formula_3及びformula_6はともに同一の微分方程式を与えるが、慣例としてこれら2つの異なる次数に対して異なるベッセル関数が定義される(例えば、formula_3の関数としてなるべく滑らかになるようにベッセル関数を定義する、など）。そもそもベッセル関数は、惑星軌道の時間変化に関するケプラー方程式を、ベッセルが解析的に解いた際に導入された。ベッセル解は、ラプラス方程式または、ヘルムホルツ方程式の、円柱座標系または極座標系における分離解として見出される。したがって、ベッセル関数は、電波伝播や静電位差などの解を求めるときに重要なものとなっている。（円柱座標系においては、整数次数formula_8のベッセル関数が解として得られる。極座標系においては、半整数次数formula_9のベッセル関数が解として得られる。）例えば、ベッセル関数には、また信号処理のような他の問題のための有用な特性がある(例えば、FM合成、Kaiser窓やベッセルフィルタなど)。ベッセルの微分方程式は2階の線形微分方程式であるので、線形独立な2つの解が存在するはずである。しかしながら、解を議論する状況に応じて解の様々な表現が便利に使われている。代表的ないくつかの解の表現について以下で説明する。これらの関数が、ベッセル関数群としては、最も一般的な形式である。ここで、formula_56は虚数単位である。formula_57とformula_58との線形結合によって与えられるこれらの解の表現は、第三種ベッセル関数として知られている(ハンケル関数は円筒波の方程式における、内側もしくは外側への円筒波の伝播の解を表現する)。ベッセル関数はformula_59の複素数値に対しても適切に定義されており、応用上は formula_59が純虚数の場合が特に重要である。この場合、ベッセルの微分方程式への解は第1種及び第2種の変形ベッセル関数と呼ばれ、以下のように定義される。これらの関数は、formula_59が実数のときに関数値が実数となるように定義されている。またこれらの関数は、変形されたベッセルの微分方程式に対する2つの線形独立な解を与えている。変形ベッセル関数には以下の性質がある。ここで、n は正の整数またはゼロ。第1種及び第2種のベッセル関数から、球ベッセル関数(spherical Bessel functions)と球ノイマン関数(spherical Neumann functions)がそれぞれ以下のように定義される。これらの関数は、球ベッセル微分方程式に対する2つの線形独立な解を与えている。量子力学における3次元自由粒子のシュレーディンガー方程式の動径方向の解のうち、正則なものは球ベッセル関数で表され、正則でないものは球ノイマン関数で表される。また3次元井戸型ポテンシャルのシュレディンガー方程式における、ポテンシャル内部の動径方向の解のうち、原点で発散しないものは球ベッセル関数で表され、原点で発散するものは球ノイマン関数で表される。ここで、formula_56 は虚数単位である。また、非負の整数 "n" について:formula_74 は、実数xに関してformula_75の複素共役となる。量子力学では、3次元井戸型ポテンシャルのシュレディンガー方程式における、ポテンシャル外部の動径方向の解は、球ハンケル関数で表される。第一種球ハンケル関数は外向き、第二種球ハンケル関数は内向きを表す。第1種及び第2種の変形ベッセル関数から、変形球ベッセル関数(英:modified spherical Bessel functions)が以下のように定義される。これらの関数は、変形球ベッセル微分方程式に対する2つの線形独立な解を与えている。変形球ベッセル関数には以下の性質がある。ここで、n は正の整数またはゼロ。

出典:wikipedia