formula_1をシンプレクティック多様体であるとする。formula_2の部分多様体formula_3がラグランジュ部分多様体であるとは、(1) formula_4(2) formula_5を満たすことをいう。formula_6をn次元シンプレクティック多様体であるとする。また、formula_7を次を満たすformula_6上の滑らかな関数たちとしよう。(i) 互いにポアソン可換である。すなわち、シンプレクティック形式から定まるポアソン構造に関して、formula_9が成立する。ポアソン構造に関しては、ポアソン多様体を見よ。(ii) formula_10はformula_2上で一次独立である。formula_12はformula_13の外微分を表す。formula_6からformula_15への写像formula_16をformula_17で定義する。このとき、もしformula_18がformula_16の正則値であるならば、formula_20はラグランジュ部分多様体である。formula_2をｎ次元多様体とし、formula_22でその余接バンドルを表すとする。余接バンドルを正準２形式formula_23の入ったシンプレクティック多様体であると思うと、formula_24はラグランジュ部分多様体である。

出典:wikipedia