代数的整数論において、すべての円分体は有理数体 Q のアーベル拡大であることを示すことができる。クロネッカー・ウェーバーの定理 (Kronecker–Weber theorem) は、この逆を部分的に与えるもので、Q のどのアーベル拡大もある円分体に含まれるという定理である。言い換えると、有理数体の拡大でガロア群がアーベル群であるような代数的整数は、有理係数の1の冪根の和として表すことができる。例えば、である。この定理の名前はレオポルト・クロネッカー (Leopold Kronecker) と (Heinrich Martin Weber) に因んでいる。クロネッカー・ウェーバーの定理は、体と体の拡大のことばで記述することができる。詳しくは、クロネッカー・ウェーバーの定理は、有理数体 Q のすべての有限アーベル拡大は、ある円分体の部分体であるという定理である。つまり、代数体は、Q 上のガロア群がアーベル群であるならば、有理数体に1のべき根を添加することにより得られる体の部分体である。Q のアーベル拡大 "K" が与えられると、"K" を含む最小な円分体が存在する。この定理によって、"K" の導手を、"K" が 1 の "n" 乗根により生成される体に含まれるような最小の整数 "n" として定義できる。例えば、二次体の導手は、それらのの絶対値であり、これは類体論で一般化される事実である。定理は最初に で述べられた。しかし、彼の議論は、次数が2のべきの拡大に対して不完全であった。 が証明を出版したが、これはいくらかのギャップや誤りを含み、 により指摘、修正されている。最初に完全な証明をしたのは であった。 は、局所体の任意のアーベル拡大は円分拡大とを用いて構成することができるという局所クロネッカー・ウェーバーの定理を証明した。, , は別証明を与えた。ヒルベルトの第12問題は、クロネッカー・ウェーバーの定理を有理数体以外の体を基礎体として一般化することができるかと問い、その体では1のべき根の類似物は何かを問うている。

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