数学の一分野、環論における商環（しょうかん、）、剰余環（じょうよかん、）あるいは剰余類環（じょうよるいかん、）とは、群論における剰余群や線型代数学における商線型空間に類似した環の構成法およびその構成物である。すなわち、はじめに環 "R" とその両側イデアル "I" が与えられたとき、剰余環 "R"/"I" と呼ばれる新しい環が、"I" の全ての元が零元に潰れる（"I" による違いを「無視」するともいえる）ことで得られる。注意: 剰余環は商環とも呼ばれるけれども、整域に対する商体（分数の体）と呼ばれる構成とは異なるし、全商環（商の環、これは環の局所化の一種）とも異なる。環 "R" とその両側イデアル "I" が与えられたとき、"R" 上の同値関係 ~ をで定める。"a" ~ "b" が成立することを「"a" と "b" はイデアル "I" を法として合同である」という。イデアルの性質から、これが合同関係を定義することを確かめるのは難しくない。"R" の元 "a" の属する同値類はで与えられる。この同値類は "a" mod "I" とも書き、「"a" を "I" で割った剰余類」 と呼ばれる。このような同値類全体の成す集合を "R"/"I" で表せば、これはを演算とする環となる（これが矛盾無く定義できることは確認すべきことである）。これを "R" を "I" で割った商環、あるいは剰余環という。剰余環 "R"/"I" の零元は 0 + "I" = "I" であり、乗法単位元は 1 + "I" で与えられる。環 "R" から剰余環 "R"/"I" への全射な環準同型 π がとおくことによって定まる。これは自然な射影や標準準同型などとも呼ばれる。剰余環 R["X"]/("X"), R[X]/("X" + 1), R["X"]/("X" − 1) はどれも R に同型だから、さほど面白いことにはならないが、剰余環 R["X"]/("X") は幾何代数において二重数 と呼ばれる二次元の対象を定める。これは R["X"] の元を "X" で割った「余り」としての線型二項式のみからなる。このような異種複素平面が生じることは、二重数の存在を際立たせるのに十分である。さらに剰余環 R["X"]/("X" − 1) は二つの剰余環 R["X"]/("X" + 1) および R["X"]/("X" − 1) に分解するので、これを分解型複素数環といい、しばしば環の直和 R ⊕ R と同一視される。その一方で、これにより双曲線上へ複素数構造を持ち込むことができ、通常の複素数が回転を表現するのと同様に分解型複素数の演算と双曲的回転が結びつくので、双曲的回転の平面線型代数が自然に行える。ハミルトンの四元数は1843年にとして与えられた。"Y" + 1 を "Y" − 1 に置き換えれば分解型四元数の環が得られる。二つの + を両方とも − に置き換えてもやはり分解型四元数を得る。反交換性 YX = −XY から "XY" の平方がとなることが従う。三種類の複四元数も、三つの不定元を持つ環 R["X

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