数学における級数 (きゅうすう、) とは、ひと口に言えば数や関数など互いに足すことのできる数学的対象の列について考えられる無限項の和のことである。ただし「無限の項の総和」が何を表しているのかということはしばしば解析学の言葉を用いて様々な場合に意味を与える（#級数の収束性の節を参照）ことができるが、そのようなことができない「発散する級数」もあれば、級数自体を新たな形式的対象としてとらえることもある。小さくなっていく実数を項とする級数の収束性については様々な判定条件が与えられている。級数を表す記法として、和記号 ∑ を用いた表現 ∑ "a" や三点リーダ ⋯ を用いた表現 "a" + "a" + ⋯ などがある。有限個の項以外は 0 とすることで有限個の対象の和を表すこともでき、無限項の和であることを特に強調する場合には無限級数とも言う。無限の項の和の形に表された級数が何を表しているかということは一見必ずしも明らかではないため、何らかの意味付けを与えなければならない。もっともよく採用される理解の方法は、有限個の項の和が収束する先を無限級数の値とすることである。このほかに、解析接続などの手法により、みかけ上発散している級数に対してのような等式が意味付けされることもある。"N" を任意の自然数とするとき、与えられた無限数列 {"a"} に対し、初項から第 "N" 項までの、初めの有限項の和を数列 {"a"} あるいは級数 ∑ "a" の第 "N"-部分和 () と呼び、また "N" に依らず総称して部分和と呼ぶ。「無限個の項の和」の意味が必ずしも明らかではない場合も含めて、形式的な意味での（無限）級数とはこの部分和からなる列 {"S"} 自身のことであると理解される（各項 "S" は有限級数と呼ばれることもある）。またこの部分和の列自身を「形式的な和」としてなどの形で書きあらわす。ただし、これはそう書くというだけのことであって、この式自体に特別の意味があるということではない。これに「総和」としての意味のある値を結びつけるには、きちんとした理由付けが必要である。たとえば、与えられた無限列は有限個の例外を除く全ての項が 0 であるという場合（実質有限列）ならば、値が 0 である項は和に寄与しない（ので無いも同然の）ものと考えることにより、0 でない有限個の項の総和の値を以って所期の級数の値、すなわち無限個の項の総和であるとすることは自然である。一般の無限列が実質的有限であることは必ずしも期待できないので、その場合に意味のある議論を行うには、やはり極限や収束について考えられなければならない。有限個の項の和である部分和には、通常の如く素朴な意味での和の値というものが定義されている。部分和の列 {"S"} が適当な意味で収束して有限な値 α を持つならば、級数 ∑ "a" は収束 () するといい、α を数列 {"a"} あるいは級数 ∑ "a" の和の値と呼んで、で表す。部分和が有限な値に収束しない（極限が無いかあっても有限でない）級数は発散 () するという。級数に和の値が結び付けられているとき、しばしば便宜的に「級数の和の値」の意味で「級数」という言葉を用いることがある（和の値を単に和と呼ぶことがあるのと同様である）。これらは厳密に言えば異なる概念であるが、いずれの意味であるのかは文脈から明らかなはずである。たとえば、「0.999... = 1 である」というときの左辺は、という級数の値という意味である。"a" = 9 × 10 で定まる無限数列 {"a"} の部分和の列を考えれば常に "s" < 1 であって、1 という値がこの数列の項としては現われない。素朴な意味で 0.999... ≠ 1 とか 0.999... < 1 であると主張する人々の議論は、しばしばこのような数列として 0.999... を捉えているものと解釈することができる。同様にそのような捉え方では、数列 {1 − "s"} を考えれば、であるから、0 が続いた後に必ず 1 が現れるはずだ（から等しくは無い）ということになる。しかしこれらの数列の極限はと定まるので、級数 0.999... の値は 1 なのである。自然数によって項が添字づけられている場合には絶対収束と条件収束とのふたつの収束性の概念を定義することができる。各項が絶対値（ノルム）の定義された体系に属する級数 ∑ "a" は、有限個の項の絶対値を足して得られる正数列が有界である場合、その級数は絶対収束 () していると言われる。最初の有限個の項の絶対値をそれぞれ足して得られる数の列がコーシー列になっているようなとき、およびそのときに限り絶対収束が成り立っている。最初の有限個の項を足して得られる部分和の列が収束しているような級数 ∑ "a" は条件収束 () あるいは単に収束していると言われる。絶対収束している級数は条件収束している。しばしば「絶対収束でない収束」の意味で単に「条件収束」と呼ぶことがある。条件収束級数の和の値は一般に数列の項の並びに依存して決まる。数列 {"a"} の項を任意に並べ替えてできる数列 {"a"} の和が、置換 σ の取り方に依らずもとの数列の和に等しいとき、しばしば級数 ∑ "a" は無条件収束 () しているといわれる。絶対収束級数は無条件収束する。無条件収束でない収束級数は、適当な置換を選んで並べ替えることにより、任意の値に収束または発散させることができる。整数の集合など、整列可算集合ではない添字集合 "I" によって項が数え上げられた級数 ∑ "a" に関しても以下のように収束性の概念を定めることができる。添字集合の有限部分集合のなす直系について、対応する項の和が収束 i.e.しているとき、級数 ∑ "a" は条件収束しているといい、各項の絶対値を考えられてとなっているとき ∑ "a" 絶対収束していると言われる。以下に重要な級数の例を挙げる。関数列 {"f"} に対して、関数を項に持つ級数を関数項級数と呼ぶ。関数列 {"f"} は変数 "x" の値をひとつ止めるごとに数列 {"f"("x")} を与えるから、部分和の極限は数列の和の意味での級数である。関数列 {"f"} は適当な集合 "E" について "x" ∈ "E" なる任意の "x" に対する数列 {"S"("x")} が収束するとき、"E" 上で点ごとに収束するあるいは各点収束 ) するという。このとき "x" における値をで定義して得られる関数 "f" を関数列 {"f"} の（各点収束の意味での）極限関数という。またこのとき、一般に部分和 "S" の漸近的な評価、すなわち任意の ε > 0 に対してとできるような "N" = "N"(ε) の選び方は "x" ごとに異なってよいが、もし "x" ∈ "E" に依らず（ε を与えるごとに）一定の "N" = "N"(ε) をとることができるならば、関数項級数 ∑ "f" は "E" 上で極限関数 "f" に一様収束 () するという。連続関数の一様収束極限はふたたび連続であるから、連続関数を項に持つ関数項級数の一様収束極限もやはり連続関数となる。また、可積分関数を項に持つ関数項級数が一様収束するならば、その極限関数はふたたび可積分であり、とくに項別積分可能 ()である。滑らかな関数を項に持つ関数項級数の一様収束極限に対する項別微分可能性も同様である。収束冪級数の収束はその収束域において一様で、各項の冪関数は可積分かつ連続的微分可能であるから、収束冪級数は項別積分可能かつ項別微分可能であり、その原始関数および導関数はもとの冪級数と同じ収束域もつ冪級数として得られる。関数列の収束性と同じく、関数項級数の他の収束性として分布収束（法則収束）や平均収束なども考えることができる。古代ギリシャでは、幾何級数にもとづく取り尽くし法によって四角錐の体積（エウドクサス）、放物線と直線で囲まれた部分の面積（アルキメデス）などを求める方法が開発された。関数を級数によって表す方法論は、14世紀インドのマーダヴァによる逆正接関数のテイラー級数の研究が知られているうちで最古のものである。マーダヴァは同時にこの級数の収束する条件についても述べているが、これは収束性の議論という意味でも初めての研究になっている。条件収束の概念は1823年のポアソンの研究に初めて現れる。テイラー級数の一般論はブルック・テイラーによって1715年に発表された。フーリエ級数は1822年のフーリエの研究に、ディリクレ級数は1839年のディリクレの研究ではじめて定義された。無限の項を表すための記法として知られるもっとも古いものは17世紀ヨーロッパの数学界で用いられた &c （x+y+z,&cが現在の記法で書くところの x+y+z+...を表した）である。このほか用いられた記法に x+y+z+&c, x+y+z+etc, x + y + z + . . . . ∼ などがあった。級数を表す記号として大文字のシグマを初めて使ったのはオイラー (1775) だったが、この記号はすぐには広まらなかった。ある種の関数の漸近級数あるいは漸近展開とは、定義域内の点における部分和がその関数のよい近似を与えるような無限級数をいう。漸近級数は、一般には必ずしも収束しないが、近似列として見れば有効であり、任意の有限項で打ち切った和の値があるべき「真の値」に近いものを与える。ただし、真の値がそのまま得られる収束級数とは異なり、漸近級数を利用するにはきちんと誤差を評価する必要がある。事実として典型的な漸近級数では、ある程度多くの項を加えて初めて「最適」な近似が得られるようになり、また一方で加える項の数が多くなりすぎると近似の精度が悪くなるという特徴が見られる。「通常の意味」での和が収束しないような級数に対して、何らかの意味で和と呼ぶにふさわしい極限値を割り当てることができるというような状況はたくさんある。総和法はそのような、古典的な意味での収束の概念を完全に拡張して、発散級数全体の成す集合の特定の部分集合に対して値を割り当てる方法である。総和法の代表的なものとしては、総和可能な発散級数が少ない（実は後へいくほど前者の一般化となる）順にチェザロ総和法、("C

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