算術の基本定理（さんじゅつのきほんていり、）または素因数分解の一意性（そいんすうぶんかいのいちいせい、）は、「全ての自然数は素数の積として（積の順番の違いを除いて）ただ一通りに表すことができる」という算術（初等整数論）における定理である。例えば は と素因数分解され、素数の順序を無視して、これ以外の素数の積として表すことはできない。算術の基本定理の主張が、任意の自然数について「素数の積に分解される（素因数分解の存在）」という主張と「素因数分解があれば一意に決まる（分解の一意性）」という主張の大きく 2 つの部分からなっていることに留意すべきである。なぜならば、分解の存在は比較的素直に示せるのに対して、一意性の証明はそれよりも多少高度な論証を要するからである。一意性の証明にはいくつかの方法があるが、以下の事実（ユークリッドの補題）を用いることが多い。また、素数の積としての順番を考慮しないのは、自然数が積に関して交換法則と結合法則を満たすことによる。そして通常は見易さを考慮して、素因数を最も小さいものから順に並べて、大きいものは最後にする。この定理の整数の場合への自然な一般化は「 以外の任意の整数は、素数と単数の積として因子の順番の違いを除いて一意に表される」である（この意味において「整数に対して算術の基本定理が成立する」と言うことができる）。同様の主張はもっと一般の環などにおいても（成り立つか成り立たないかを考えることができるという意味で）意味を持つけれども、必ずしも成立はしない。ユークリッドの『原論』の7巻に実質的な証明が書かれている。完全な形での証明はガウスの『算術研究』におけるものが最初であると考えられている。それは現代的な言葉で書けば以下のようになる。抽象代数学において、この定理をもっと一般の場合に「仮説」として持ち込むならば、定理の主張は「任意の でない元は、素元および単元の積として一意的に表される」となるのが自然である（「素元」は素数の一般化であり、「単元」は考えている範囲の数の中に逆数があるということの一般化である）。ここで「仮説」としたのは、定理の主張が意味を持つ同様の代数系（環やモノイド）の中にも、算術の基本定理が成立しないものがあるからである。例えば、すべての整数が成す集合において、 および は、それ自身は素数ではないけれども、整数の範囲で逆数を持つ（実際、自分自身が逆数になる）から、「整数の範囲でも算術の基本定理は成り立つ」というふうに言うことができる。ほかにもユークリッド整域や主イデアル整域ならば、このような形で算術の基本定理を一般化したものが成立する。一般に、算術の基本定理が成り立つ環を一意分解環という。 一般に、分解の一意性のほうは成り立ちにくい性質である。実際、ネーター環は素元分解を必ずもつが、一意分解環でないようなネーター環が多く存在することが知られている。

出典:wikipedia