フィボナッチ素数（フィボナッチそすう）はフィボナッチ数である素数である。フィボナッチ素数の最初のいくつかは以下のようになる（）。フィボナッチ素数が無限にあるかどうかは分かっていない。"F" が素数となる "n" の最初の33個は以下の通りである（）。以下の数に対する "F" も、素数である可能性が高いと考えられている。"n" = 4 の場合を除いて、"F" がフィボナッチ素数となる "n" は素数である。しかし、"n" が素数でも "F" が素数になるとは限らない。最初の10個の素数のうち、2 と 19 を除いた8個で "F" は素数となる。2 と 19 は "F" = 1, "F" = 4181 = 37 × 113 となる。しかし、"p" が大きくなるにつれてフィボナッチ素数の出現頻度は下がっていく。10000以下の 1229個の素数の中で、"F" が素数になるのは26個しかない（）。2009年11月現在、知られている最大のフィボナッチ素数は "F" である。これは 17103桁の数である。この数は、2001年に David Broadhurst と Bouk de Water によって素数であることが証明された。2009年に Henri Lifchitz が発見した "F" は素数である可能性が高いとされている。この数字は 411439桁である。これとは対照的な結果として、Nick MacKinnon は双子素数になる素数でフィボナッチ素数となるのは 3, 5, 13 の場合だけであることを証明している。素数番目のフィボナッチ数とそれより小さいフィボナッチ数は、1より大きい公約数を持たない。これは、以下の式から明らかである。"n" が 3以上のとき、"n" が "m" で割り切れるときのみ "F" が "F" で割り切れる。上の式において、"m" を素数 "p" とし、"n" をそれ以下の数とすると以下の式が成り立つ。

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