数学において、三角関数と双曲線関数について無限乗積を用いた以下の恒等式が成立する。formula_5は複素平面全体で正則(マクローリン展開の収束半径が無限大)であるから無限次の多項式で表される。formula_5の零点はformula_7であるから、formula_8を定数として微分してformula_11を代入すればformula_12を得る。同様にformula_11を代入すればformula_15を得る。但し、これは厳密な証明ではない。何故ならばformula_16を考慮していないからである。同じ方法でformula_17の無限乗積展開を求めようとすると失敗するであろう。一般にはワイエルシュトラスの因数分解定理が必要になる。正弦関数の乗積展開を証明するにはとして、恒等的にformula_19であることを示せば良い。そのためにformula_20の対数微分を考える。余接関数の部分分数展開を用いてformula_23となるからformula_20は定数であり、formula_25が得られる。正弦関数の乗積展開にformula_27を代入するとが得られる。これはウォリス積と呼ばれるものである。

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