数学においてフーリエ変換（フーリエへんかん、英:Fourier transform; FT）は、実変数の複素または実数値函数を別の同種の函数に写す変換である。変換後の函数はもとの函数に含まれる周波数を記述し、しばしばもとの函数の周波数領域表現 (") と呼ばれる。これは、演奏中の音楽を聴いてそれをコードに書き出すというようなことと同様な思想である。実質的に、フーリエ変換は函数を振動函数に分解する。フーリエ変換 (FT) は他の多くの数学的な演算と同様にフーリエ解析の主題を成す。特別の場合として、もとの函数とその周波領域表現が連続かつ非有界である場合を考えることができる。「フーリエ変換」という術語は函数の周波数領域表現のことを指すこともあるし、函数を周波数領域表現へ写す変換の過程・公式を言うこともある。可積分函数 のフーリエ変換の定義として、よく用いられるものにもいくつか異なる流儀がある。本項ではを定義として用いる。ここでギリシャ文字小文字の は任意の実数である。対象の関数における独立変数が物理量の場合、フーリエ変換は独立変数の次元をもとの逆数に移す。例えば、変換前の関数における独立変数 が時間の次元をもつとき、変換後の独立変数 は周波数の次元を持つ。あるいは、変換前の独立変数 が長さの次元をもつとき、変換後の独立変数 は波数の次元を持つ。この性質は定義より が無次元量であることから従う。適当な条件のもと、 はその変換 からフーリエ逆変換 で とおくことによって復元することができる（ は任意の実数）。他の定義や記法については後述する。フーリエ変換を考える動機はフーリエ級数の研究に始まる。フーリエ級数の研究において、複雑な周期函数は単純な波動の数学的な表現である正弦函数や余弦函数の和として表される。正弦や余弦の性質のおかげで、この和に現れる各波の量、フーリエ係数を積分によって計算することができる。多くの場合に、"e" = cos 2πθ + "i" sin 2πθ (オイラーの公式)を用いて、正弦関数および余弦関数の代りに基本波動 "e" を用いた方が便利である。この場合には多くの公式が簡単化され、本項で後述するフーリエ変換のほかの類似の定式化をあたえるという点に優位性がある。この正弦・余弦から複素指数函数への移行にはフーリエ係数が複素数値であることを要する。この複素数は、函数に含まれる波動の振幅（あるいは大きさ）と、位相（あるいは初期角）の両方を与えているものと通常は解釈される。また、この移行に際して「負の周波数」も導入される。例えば、波動 "e" および "e" はともに周期1を持つが、複素フーリエ級数においては別々の成分として取り扱われる。したがって、周波数を単純に周期の逆数と考えることはできなくなる。フーリエ級数を以下のようにしてフーリエ変換の動機付けに用いることができる。函数 "ƒ" をある区間 [−"L"/2, "L"/2] の外側で 0 となるようなものとすると、任意の "T" ≥ "L" に対して "ƒ" を区間 [−"T" /2, "T" /2] 上のフーリエ級数に拡張できる。ここで "f" のフーリエ級数に現れる波動 "e" の係数となる "c" で表される「量」はで与えられ、"ƒ" は公式で与えられなければならない。ξ = "n"/"T" とおき、Δξ = ("n" + 1)/"T" − "n"/"T" = 1/"T" とおくと、最後の和をとして考えることができる。"T" → ∞ とすることにより、このリーマン和は定義節で与えられるフーリエ逆変換に収束する。適当な条件の下では、この議論をもっと明確化することができる。したがって、この場合はフーリエ級数だが、フーリエ変換は函数に含まれる個々の特定の周波数がどの程度あるかを測るものと考えることができ、それらの波動を積分（あるいは「連続和」）によって再結合して元の函数を復元することができる。以下の画像はフーリエ変換が特定の函数に含まれる周波数を測る方法を視覚的に現したものである。函数として、（"t" が秒で測られる場合には）3 ヘルツで振動し、急速に 0 になるを描く。この函数は特に描画しやすい実フーリエ変換をもつものとして選ばれたものであり、最初の画像はそのグラフである。 を計算するために、"e"ƒ"("t") を積分する。二枚目の画像はこの被積分函数の実部および虚部である。被積分函数の実部は殆ど常に正となる。これは "ƒ"("t") が負であるときには "e" の実部が同様に負となることによる。それらは同じ比率で振動するから、"ƒ"("t") が正であるときも同様に "e" の実部も正になる。この結果、被積分函数の実部のを積分すれば、比較的大きな数値（ここでの場合 0.5）を得ることになる。いっぽう、（ を見る場合のように）含まれない周波数を測れば、被積分函数は十分に振動し、それゆえにその積分はとても小さい値となる。一般の設定ではこれよりは少し複雑になるが、それでもフーリエ変換は函数 "ƒ"("t") に含まれる個々の周波数がどれくらいあるかを測るものという考え方に変わりはない。実数直線上で定義される函数 "f" が可積分であるとは、を満たすルベーグ可測函数であることをいう。可積分函数 "f"("x"), "g"("x"), "h"("x") が与えられたとき、これらのフーリエ変換をそれぞれ , , で表す。フーリエ変換は以下の基本性質を満たす。可積分函数のフーリエ変換は、常に成り立つというわけではない性質も持っている。可積分函数 "ƒ" のフーリエ変換は一様連続でを満たす。可積分函数のフーリエ変換はであることを述べたリーマン・ルベーグの補題をも満足する。可積分函数 "f" のフーリエ変換 は有界連続だが可積分であるとは限らず、その逆変換をルベーグ積分として書くことは一般にはできない。しかしながら、"ƒ" および がともに可積分ならば、反転公式が殆ど全ての "x" において成り立つ。つまり、"ƒ" は右辺で定義される連続函数と殆ど至る所等しい。特に "ƒ" が実数直線上の連続函数として与えられたならば全ての "x" において等式が成り立つ。前述の結果としてわかることは、フーリエ変換が "L"(R) 上単射であることである。"f"("x") および "g"("x") は可積分であるとし、そのフーリエ変換をそれぞれ および と表す。"f"("x") および "g"("x") がともに自乗可積分であるならばパーセバルの定理 が成立する。ここで上付きバーは複素共軛を表す。パーセバルの定理と同値なプランシュレルの定理によればが成立する。プランシュレルの定理により、"L"(R) に属する函数の後述する意味でのフーリエ変換を定義することが可能になる。プランシュレルの定理は、フーリエ変換はもとの量のエネルギーを保存するという自然科学における解釈を持つ。著者によってはこれらの定理のどちらともをプランシュレルの定理あるいはパーセバルの定理と呼んでいる場合があるので注意を要する。 局所コンパクトアーベル群に関する文脈におけるフーリエ変換の概念の一般の定式化についてはポントリャーギン双対の項を参照されたい。一般的に言って、"f"("x") が凝縮されればされるほどそのフーリエ変換 はより拡散される。特に、フーリエ変換のスケール性からわかることとして、函数を "x" において「圧搾」するならば、そのフーリエ変換は ξ において「伸展」される。したがって、函数とそのフーリエ変換の両方ともを勝手に凝縮させることはできない。函数とそのフーリエ変換のコンパクト化のあいだの得失評価は不確定性原理の形で定式化することができる。"ƒ"("x") は可積分かつ自乗可積分であると仮定する。一般性を失うことなく函数 "ƒ"("x") はに正規化されているものと仮定してよい。このとき、プランシュレルの定理により も同様に正規化される。"x" = 0 の周りでの拡散は で定義される「0 の周りでの分散」 によって測ることができる。確率の言葉で言えば、これは |"f"("x")| の 0 の周りでの二次のモーメントである。このとき不確定性原理は、函数 "ƒ"("x") が絶対連続で、函数 "x"·"ƒ"("x") および "ƒ"′("x") が自乗可積分であるならば が成り立つことを述べる。等式が成立するのはしたがって、である場合に限る。ただし、定数 σ > 0 は任意であり、係数 "C" は "ƒ" を "L"-正規化する定数である。言い換えれば、 "ƒ" は 0 を中心に持つ（正規化）ガウス函数のとき等号が成り立つ。事実として、この不等式は任意の "x

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