正軸体（せいじくたい、cross-polytope）は、2次元の正方形、3次元の正八面体、4次元の正十六胞体を各次元に一般化した正多胞体。なお、定義によっては形式的に0次元正軸体は点、1次元正軸体は線分となるが、正軸体一般の性質の一部が成り立たないため、0次元・1次元に正軸体は存在しないとすることが多い。formula_1体（ベータたい）ともいい、"n" 次元正軸体を formula_2 と書く。正単体、超立方体（正測体）と並んで、5次元以上での3種類の正多胞体の1つである。正軸体を作図するには、座標 formula_3 の巡回を頂点とし、最も近い（距離 formula_4 の）2点ずつを辺で結ぶ。最も近い3点ずつが面を構成し、"m" + 1 (0 ≤ m ≤ "n" - 1) 点ずつが "m" 次元面を構成する。なおこの作図は、超立方体の双対の作図と等価である。またこうして作図された正軸体は、"n" 次元ユークリッド空間を formula_5 で表してでも定義できる。特にことわらない限り、辺の長さが "a" の "n" (≥ 2) 次元正軸体について述べる。超体積は超表面積はである。ファセット（"n" - 1 次元面）は "n" - 1 次元正単体である。したがって一般に、 "m" (0 ≤ m ≤ "n" - 1) 次元面は "m" 次元正単体である。また "m" 次元面の超体積は、正単体の超体積の公式より、である。対角線の長さは、作図法からわかるとおり、で、全て直交する。"m" (0 ≤ "m" ≤ "n" - 1) 次元面の個数はである。特に、頂点は formula_6 個、ファセットは formula_7 個である。双対は超立方体（正測体）である。

出典:wikipedia