関数解析学において、有界作用素のスペクトルは、行列における固有値の概念の一般化である。特に、formula_1が可逆でなければ、formula_2を有界線形作用素formula_3のスペクトルという。ただしformula_4は恒等関数とする。スペクトル及びスペクトルに関連する研究は、スペクトル理論と呼ばれ多くの応用先を持つ。最も良く知られているのが、量子力学の数学的な枠組みについてである。有限次元ベクトル空間上の作用素のスペクトルは厳密に、固有値の集合となる。しかしながら、無限次元空間上の作用素は、固有値を持たないことがある。例えば、ヒルベルト空間 ℓ 上では、右シフト作用素は固有値を持たない。固有値をもつ、つまりformula_5を満たすような0でないformula_6が存在するとすると、formula_7となる。一方で、formula_8（つまりformula_9自身）は可逆ではない。つまり、ゼロでない第一成分が含まれていないような任意のベクトルについてformula_9は全写ではないので、formula_11はスペクトルの元である。実際、複素バナッハ空間上の任意の有界線形作用素は、必ず空でないスペクトルを持つ。有界作用素は、スペクトルの厳密な定義に従えば、バナッハ環の構成要素と考えることもできる。スペクトルの概念は、非有界作用素に拡張することができる。有界でない場合、スペクトルに関して良い性質を得るために、作用素は閉じている必要があることも多い。スペクトル及びスペクトルに関連する研究は、スペクトル理論と呼ばれる。係数体 上のバナッハ空間 に作用する有界線型作用素 に対し、 上の恒等作用素を として、 のスペクトル は、作用素 の有界線型な逆作用素が存在しないような複素数 全体の成す集合を言う。 は線型作用素ゆえ、その逆作用素もまた存在すれば線型である。また有界逆写像定理により有界性も出る。故にスペクトル は、 が全単射でないような複素数 の全体に一致する。有界作用素 のスペクトル は、常にコンパクトであって、かつ空でない。もしスペクトルが空ならば、レゾルベント作用素が複素平面上のすべての点で定義され、かつ有界である。しかし、レゾルベント関数 "R" は領域上で正則であることが示せる。ベクトル値に関するリウヴィルの定理により、この関数は定数であり、かつ無限遠で 0 であるので、すべての点で 0 となる。これは矛盾である。スペクトルの有界性は、"λ" に関するノイマン級数展開から導かれる。スペクトル は で抑えられる。同様にしてスペクトルの有界性が示せるので、有界作用素のスペクトルはコンパクトである。スペクトルの上界 は、ある程度狭めることができる。 のスペクトル半径 とは、原点を中心とし、内部にスペクトル を含むような複素平面上の最小な円の半径、すなわち、である。スペクトル半径公式は、バナッハ環の任意の元 に対してが成り立つことを述べる。有界な作用素 "T" において、"T" が下に有界でかつ稠密な値域を持つことと、"T" が逆作用素を持つ、すなわち有界な逆元を持つこととは同値である。したがって、"T" のスペクトルは、以下のように分類できる。実際には、全単射性は逆元を有するための十分条件であって、必要条件でないことに注意されたい。十分性は有界逆定理による。また、このように定義すれば、各スペクトルの間に共通部分があっても問題がない。以下に、σ("T") の 3 つの部分について、より詳しく述べる。もし作用素が単射でない（したがって "T"("x") = 0 を満たす 0 でない "x" がある）ならば、逆作用素は存在しない。したがって、もし λ が "T" の固有値ならば、λ ∈ σ("T") となる。"T" の固有値の集合は、"T" の点スペクトルとも呼ばれる。より一般的に言えば、"T" が下に有界ならば、すなわち、すべての "x" ∈ "X" に関して ||"Tx"|| ≥ "c"||"x"|| が成り立つような "c" > 0 が存在しないならば、"T" は逆作用素を持たない。したがって、スペクトルは、"T" - λ"I" が下に有界でないような近似固有値 λ の集合を含む。すなわち、これはとなるような単位ベクトル列 "x

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