ベイカーの定理 (ベイカーのていり、) とは、1966年-1968年にかけて、アラン・ベイカーによって発表された、対数関数の一次形式に対する線形独立性、および下界の評価に関する一連の定理のことである。下界の評価が計算可能であることから、数論の様々な分野で応用されている。定理1 (対数関数の一次形式の線形独立性)formula_1 を 0 ではない代数的数とする。もし、formula_2 が有理数体上線形独立であるならば、formula_3 は、代数的数体上線形独立である。定理2 (対数関数の一次形式の下界の評価)formula_1 を 0 ではない、次数が "d" 以下、高さが "A" 以下の代数的数とする。また、formula_5 を、次数が "d" 以下、高さが formula_6 以下の代数的数としたとき、とおくと、formula_7 または、formula_8 である。ここで、"C" は、"n"、 "d"、 "A"、 そして、対数の値によって定まる計算可能な定数である。定理1 から得られる系をいくつか挙げる。系1　formula_1 を 0 ではない代数的数とする。また、formula_5 を formula_11 を満たす代数的数としたとき、系2　formula_12 を 0 ではない代数的数としたとき、は、超越数である。系3　formula_1 を 0 でも 1 でもない代数的数とする。また、formula_14 を、formula_15 が、有理数上線形独立な代数的数としたとき、は、超越数である。系3で、formula_16 とすることにより、ゲルフォント＝シュナイダーの定理が導かれる。定理2から得られる系をいくつか挙げる。系4　formula_1 を 0 ではない、次数が "d" 以下の代数的数とし、高さに対して、formula_18 については、"A" 以下、formula_19 は、formula_20 以下とする。formula_5 を、次数が "d" 以下、高さが formula_6 以下の代数的数としたとき、とおくと、formula_7 または、formula_24 である。ここで、"C" は、"n"、 "d"、 formula_25、 そして、対数の値によって定まる計算可能な定数である。系5　formula_1 を 0 ではない、次数が "d" 以下、高さが "A" 以下の代数的数とする。また、formula_14 を、絶対値が formula_6 以下の有理整数としたとき、とおくと、formula_7 または、formula_30 である。ここで、"C" は、"n"、 "d"、 そして、対数の値によって定まる計算可能な定数である。系6　formula_1 を 0 ではない、次数が "d" 以下、高さが "A" 以下の代数的数とする。また、formula_32 を、絶対値が formula_6 以下の有理整数としたとき、任意の正数 ε に対して、とおくと、formula_7 または、formula_35 である。ここで、"C" は、"n"、 "d"、ε、 そして、対数の値によって定まる計算可能な定数である。定理1および、その系から得られる例を挙げる定理2 および、その系から得られる例を挙げる。以下において、β を、次数 "d" 以下、高さが formula_6 以下の代数的数とする。ベイカーの定理を用いることで得られた、超越数論以外の結果を挙げる。

出典:wikipedia