ライプニッツの公式（-こうしき、）とは円周率の値を求めるための公式の一つである。以下の級数で表される。これは初項が 1 で各項が奇数の逆数である交項級数が (= 0.785398…) に収束することを意味する。総和の記号を用いると以下のようになる。この公式を名付けたのはライプニッツであるが、これはすでに15世紀のインドの数学者マーダヴァがライプニッツより300年ほど前に発見していたものである。公式の発見がマーダヴァの功績であることを示すためにマーダヴァ-ライプニッツ級数と呼ばれることもある。三角関数の一つ tan θ を θ について微分するととなる。ここで tan θ = "x" とおくとが導かれる。また以下の等比級数を考える。左辺は公比が −"x" であり、|−"x"| < 1 すなわち |"x"| < 1 のとき 1/(1 + "x") に収束する。(1), (2)式からが得られる。この両辺を "x" について項別積分すればとなる。（"x" = 0 のとき θ = 0 であるから定数項は 0 である。）tan θ = "x" としたので θ = のとき "x" = 1 である。これを利用して(3)式に θ = と "x" = 1 を代入するとという式が現れる。ただし "x" = 1 は |"x"| < 1 の条件に反するので(3)式に "x" = 1 を代入できるかどうかが問題になるが、この場合は代入してもよいことが分かっている（アーベルの連続性定理）。方形波をフーリエ級数で表す証明法もある。方形波 "f"("x") をと定義する（これは区分的に滑らかな関数で [−, ) 上可積分である）と、フーリエ係数 formula_10 はこの方形波が奇関数なので 0 であり、formula_11 は以下の式で表す。これを計算すると以下のようになる。したがって方形波のフーリエ級数はとなり、"f" は "x" = において連続であるから、両辺に "x" = を代入するとであるのでライプニッツの公式が得られる。この公式は単純な形をしているが実際の円周率の計算に用いるには収束が非常に遅いために全く適していない。10進法での正確な値 (= 3.1415926535…) を10桁分計算するだけで100億回以上の計算を要するほどである。ちなみに最初の500万項の部分和を計算すると の近似値としてが得られる。下線の引かれている桁だけ間違っているが、こういった誤差がいくらになるのか予想することは次の近似式で可能である。"E" はオイラー数、"N" は 4 で割り切れる自然数である。"N" に 10 の累乗数を代入すると、右辺の部分和からこの公式で求めた10進法表記での誤りが現れる桁の位置とその誤差を計算できる。

出典:wikipedia